Conjecture d'Agoh-Giuga

En théorie des nombres, la conjecture d'Agoh-Giuga sur les nombres de Bernoulli $B_{k}$ énonce qu'un entier p est un nombre premier si, et seulement si :

$pB_{p-1}\equiv -1{\pmod {p}}\,.$

(La notation $a\equiv b{\pmod {p}}$ signifie ici que p divise le numérateur de $a-b$ mais pas le dénominateur de $a-b$.)

La condition de la conjecture est nécessaire car on sait, d'après le théorème de von Staudt-Clausen, que $pB_{2m}\equiv -1{\pmod {p}}$ pour tout nombre premier p tel que $p-1$ divise 2m et que $2B_{1}\equiv -1{\pmod {2}}\,$.

La conjecture ainsi énoncée est due à Takashi Agoh. Une formulation équivalente due à Giuseppe Giuga est qu'un nombre p est premier si, et seulement si :

$1^{p-1}+2^{p-1}+\cdots +(p-1)^{p-1}\equiv -1{\pmod {p}}\qquad (1)$.

Voir l'article nombres de Giuga. L'équivalence entre les deux formulations est démontrée par Agoh.

Dans la formulation de Giuga, une implication se déduit du petit théorème de Fermat. En effet, selon celui-ci, si p est un nombre premier, alors pour tout entier a entre 1 et p-1, la puissance p-1^e de a est congrue à 1 modulo p. La congruence (1) s'obtient en sommant ces relations. Giuga a démontré qu'un possible contre-exemple $n$ (c'est-à-dire un nombre composé vérifiant la congruence (1)) est un nombre de Carmichael ; il a vérifié la conjecture pour n < 10¹⁰⁰⁰  ; Edmondo Bedocchi l'a vérifié pour n < 10¹⁷⁰⁰ , et en 1996 Borwein et d'autres sont allés jusqu'à n < 10¹³⁸⁰⁰ . Laerte Sorini, enfin, dans un ouvrage de 2001, a montré qu'un contre-exemple éventuel devait être un nombre n supérieur à 10³⁶⁰⁶⁷ qui est la limite suggérée par Bedocchi pour des raisons techniques à la démonstration indiquée par Giuga à sa propre conjecture.

Notes et références

Références

• (it) G. Giuga,« Su una presumibile proprietà caratteristica dei numeri primi » dans I° Lombardo Sci. Lett. Rend. A, 83 (1950), 511-528.
• (it) E. Bedocchi,« Nota ad una congettura sui numeri primi , Riv. Mat. Univ. Parma, (4) 11 (1985), 229-236.
• (en) T. Agoh, « On Giuga’s conjecture » dans Manuscripta Math. 87(4) (1995), 501-10.
• (en) D. Borwein, J. M. Borwein, P. B. Borwein and R. Girgensohn, « Giuga's Conjecture on Primality » dans Amer. Math. Monthly, 103, 40-50, (1996). pdf
• (it) L. Sorini, « Un Metodo Euristico per la Soluzione della Congettura di Giuga » dans Facoltà di Economia, Università degli Studi di Urbino Carlo Bo, Quaderni di Economia, Matematica e Statistica , n. 68, Ottobre (2001).
• (en) J. M. Borwein, M. Skerritt and C. Maitland, « Computation of a lower bound to Giuga's primality conjecture » dans Integers 13 (2013).