Cissoïde

La courbe rouge est la cissoïde des courbes verte et bleue.

En géométrie, la cissoïde, ou courbe cissoïdale ou cissoïdale, de deux courbes (C₁) et (C₂) par rapport à un point fixe O est le lieu géométrique des points P tels que :

${\overrightarrow {OP}}={\overrightarrow {OP_{1}}}+{\overrightarrow {OP_{2}}}$

où P₁ est un point de (C₁) et P₂ un point de (C₂), P₁ et P₂ étant alignés avec O.

La cissoïde peut aussi être vue comme la courbe médiane de pôle O des courbes C'₁ et C'₂, images de C₁ et C₂ par une homothétie de centre O et de rapport 2.

Elle est parfois définie comme l'ensemble des points P tels que :

${\overrightarrow {OP}}={\overrightarrow {P_{1}P_{2}}}$

où P₁ est un point de (C₁) et P2 un point de (C₂), P₁ et P₂ étant alignés avec O. Cette définition est équivalente à la première, à condition de remplacer C₁ par sa symétrique par rapport à O.

Étymologie et histoire

Le terme cissoïde provient du grec kissos lierre et eidos forme. En effet, la cissoïde de Dioclès rappelle la forme d'une feuille de lierre.

Définition mathématique

L'équation polaire de la cissoïde de pôle O des courbes $R=f_{1}(\theta )$ et $R=f_{2}(\theta )$ est donné par:

$R=f_{1}(\theta )+f_{2}(\theta )$

Une cissoïde peut aussi être décrite comme la différence au lieu de la somme de deux courbes.

Propriétés

• Si (C₁) est un cercle, O un point du cercle et (C₂) la tangente au cercle en un point diamétralement opposé à O, la cissoïde porte le nom de cissoïde droite ou cissoïde de Dioclès

• Si (C₁) et (C₂) sont deux droites parallèles, la cissoïdale est aussi une droite parallèle aux deux premières.

• Si (C₁) et (C₂) sont deux droites sécantes, la cissoïdale est une hyperbole passant par O, d'asymptotes C₁ et C₂.

• Si (C₂) est un cercle et que le point fixe O est le centre de ce cercle, la cissoïdale est une conchoïde de la courbe (C₁).

• Si (C₁) est une conique, (C₂) est une droite, et que le point fixe O est sur la conique, on obtient une cissoïde de Zahradnik.

• Si (C₁) et (C₂) sont des cercles et le point fixe O est sur l'un des cercles, on obtient une quartique bicirculaire rationnelle.

• Si (C₁) et (C₂) sont des cercles et le point fixe O est le milieu des centres, on obtient une courbe de Booth, dont la lemniscate de Bernoulli est un cas particulier.

Liens externes

• Sur le site de Robert Ferréol, dans son encyclopédie des formes mathématiques remarquables :
  • "Courbe Cissoïdale"
  • "Cissoïde"