Ellipse de Steiner

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Une ellipse de Steiner est inscrite dans le triangle.

En géométrie, l’ellipse de Steiner d'un triangle est l'unique ellipse tangente à chacun des côtés en leur milieu. Elle est nommée en référence au mathématicien suisse Jakob Steiner.

Démonstration

Dans le cas où le triangle est équilatéral, cette ellipse est le cercle inscrit. Comme tout autre triangle est l'image d'un triangle équilatéral par une application affine, l'image du cercle inscrit par une telle application est une ellipse qui satisfait les conditions de tangence au milieu de chaque côté.

Cette démonstration est analogue à celle du théorème des cinq points, qui fait intervenir également des conditions de tangence et d'incidence. En réalité, les six conditions requises pour l'ellipse de Steiner sont liées par la donnée du triangle initial.

Propriétés

Ellipse de Steiner et partage du triangle.

L'ellipse coupe chaque médiane du triangle au tiers de sa longueur. Ceci permet une construction de l'ellipse avec six points.
Parmi toutes les ellipses inscrites dans le triangle, l'ellipse de Steiner est celle qui a une aire maximale. Le rapport de l'aire de l'ellipse sur celle du triangle est égal à ${\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}$ .
Le centre de l'ellipse est l'isobarycentre du triangle.
Si $z 1$ , $z 2$ et $z 3$ sont les affixes complexes des sommets du triangle et si $P (z)$ est le polynôme $(z - z 1)(z - z 2)(z - z 3)$ , alors les foyers de l'ellipse sont les deux racines du polynôme $P'$ , dérivé du polynôme $P$ . C'est le théorème de Marden.
Les foyers sont conjugués isogonaux par rapport au triangle^[1] .
La droite passant par les deux foyers de l'ellipse est la droite telle que la somme des carrés des distances des sommets du triangle à la droite soit minimale (droite de régression orthogonale des trois sommets).
L'ellipse recoupe le cercle d'Euler (en plus des pieds des médianes) au point $X115$ (Nombre de Kimberling) milieu du segment reliant les deux points de Fermat. La tangente en $X115$ à l'ellipse est médiatrice de ce segment.
Soit K un point de l'ellipse de Steiner d'un triangle ABC. Si on trace par K les parallèles aux côtés du triangle, celles-ci découpent ABC en petits triangles et parallélogrammes. La somme des aires des petits triangles (en bleu sur la figure) est égale à la somme des aires des parallélogrammes (en beige)^[2].

Généralisation

Plus généralement, dans un triangle $(ABC)$ , si $A'$ , $B'$ et $C'$ sont des points respectivement situés sur les segments $[BC]$ , $[AC]$ et $[AB]$ , alors il existe une ellipse passant par $A'$ , $B'$ et $C'$ et tangente en chacun de ces points à un côté du triangle si et seulement si les droites $(AA')$ , $(BB')$ et $(CC')$ sont concourantes ; dans ce cas, l'ellipse obtenue est unique.

Ce type d'énoncé se modifie en choisissant des points de tangence sur les droites supportant les côtés du triangle, les coniques obtenues pouvant alors être des hyperboles ou paraboles.

Bibliographie

Yves Ladegaillerie, Géométrie pour le Capes et l'Agrégation, chapitre 8, exercice 3.4.7.
D. Minda, S. Phelps, Triangles, ellipses and cubic polynomials, Amer. Math. Monthly, 115, n°8 (octobre 2008), 679-689.
J. Steiner, « Géométrie pure. Développement d’une série de théorèmes relatifs aux sections coniques », Ann.Math. Pures Appl, n^o 19,‎ 1828/1829, p. 37–64.

Notes et références

↑ (en) Beniamin Bogosel, « A Geometric Proof of the Siebeck–Marden Theorem », Amer. Math. Monthly, vol. 125, n^o 4,‎ 2017, p. 459-463 (DOI 10.4169/amer.math.monthly.124.5.459)
↑ (en) A. Eydelzon, « On a New Property of the Steiner Inellipse », Amer. Math. Monthly, vol. 127, n^o 10,‎ 2020, p. 933-935 (DOI 10.1080/00029890.2020.1820795)

Articles connexes

Portail de la géométrie

[1] (en) Beniamin Bogosel, « A Geometric Proof of the Siebeck–Marden Theorem », Amer. Math. Monthly, vol. 125, n^o 4,‎ 2017, p. 459-463 (DOI 10.4169/amer.math.monthly.124.5.459)

[2] (en) A. Eydelzon, « On a New Property of the Steiner Inellipse », Amer. Math. Monthly, vol. 127, n^o 10,‎ 2020, p. 933-935 (DOI 10.1080/00029890.2020.1820795)

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[2]

v · m Triangles
Description	Sommet Apex Côté Angle Base
Types	Triangle équilatéral Triangle isocèle Triangle d'or Triangle rectangle Angle droit Cathète Hypoténuse Triangle de Kepler Triangle obtusangle Triangle acutangle Triangle isocèle rectangle Triangle pseudo-rectangle Triangle scalène Triangle de Héron
Points remarquables (Nombre de Kimberling)	Centres : Centre du cercle inscrit Centre de gravité Centre du cercle circonscrit Orthocentre Centre du cercle d'Euler Centre du cercle de Spieker Points de Brocard Points de Feuerbach Point de Fermat ou Point de Torricelli Point de Longchamps Point de Miquel Point de Gergonne Point de Nagel Point de Vecten Points isogonaux Points isodynamiques Point de Lemoine Points de Terquem Points de Napoléon Mittenpunkt
Droites remarquables	Cévienne Hauteur Médiane Bissectrice Médiatrice Droite de Brocard Droite d'Euler Droite de Lemoine Droite de Newton Droite de Simson (ou droite de Wallace) Droite de Steiner Ménélienne Symédiane Axe orthique Droite centrale
Cercles remarquables	Cercle circonscrit Cercle exinscrit Cercle inscrit Cercle d'Euler Cercle d'Apollonius Cercles de Lemoine Cercle de Longchamps Cercle de Miquel Cercle de Taylor Cercle de Tucker Cercle podaire Cercle de Brocard Cercle de Spieker Cercle de Fuhrmann Cercles de Johnson Cercle pédal
Triangles remarquables	Triangle de Bevan Triangle de Feuerbach Triangle de Gergonne Triangle de Morley Triangle de Nagel Triangle inscrit de périmètre minimal (Problème de Fagnano) Triangle médian Triangle orthique Triangle podaire Triangle tangentiel Triangle de Fuhrmann
Courbes remarquables	Deltoïde de Steiner Coniques Conique inscrite de Serret (ou de MacBeath) Conique orthique Hyperbole de Kiepert Paraboles Parabole tritangente Parabole de Kiepert Ellipses Ellipse de Mandart Ellipse de Steiner Coniques circonscrites et inscrites à un triangle Cubiques
Théorèmes	Théorème de Pythagore Théorème de Thalès Théorème de Napoléon Théorème japonais de Carnot Théorème de Ménélaüs Théorème de Morley Théorème de Nagel Théorème de Neuberg Théorème de Hamilton Théorème d'Euler Théorème de Feuerbach Théorème de Viviani Avec des céviennes Théorème de Ceva Théorème de Gergonne Théorème de Stewart Théorème de Terquem Théorème de Routh Théorème de Jacobi Avec des cercles Théorème des six cercles Théorème des trois cercles de Miquel
Relations entre triangles	Triangles isométriques Triangles semblables Inégalités dans le triangle
Résolution	Loi des cosinus Loi des sinus Loi des tangentes Loi des cotangentes Aire Formule de Héron