Intégrale de Stieltjes
L'intégrale de Stieltjes constitue une généralisation de l'intégrale ordinaire, ou intégrale de Riemann. En effet, considérons deux fonctions réelles bornées f et g définies sur un intervalle fermé [a, b], ainsi qu'une subdivision a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b de cet intervalle. Si la somme de Riemann
avec ξi ∈ [xi–1, xi], tend vers une limite S lorsque le pas max(xi – xi – 1) tend vers 0[1], alors S est appelée l'intégrale de Stieltjes (ou parfois l'intégrale de Riemann-Stieltjes[2]) de la fonction f par rapport à g. On la note
ou simplement ∫b
a f dg.
Propriétés
[modifier | modifier le code]Si les fonctions f et g possèdent un point de discontinuité en commun, alors l'intégrale n'existe pas.
Cependant, si f est continue et g à variation bornée, cette intégrale est bien définie[3],[4]. Elle l'est également si f est seulement Riemann-intégrable mais g est absolument continue, et elle coïncide alors avec l'intégrale de fg' au sens de Lebesgue[5] (ou de Riemann si de plus g' est Riemann-intégrable) :
De plus, dans ces conditions suffisantes d'existence, f et g sont interchangeables. En effet :
Théorème d'intégration par parties[6] — Si l'une des deux intégrales de Stieltjes ou existe alors l'autre aussi, et leur somme est égale à
Formules de la moyenne[7] — Si f est continue sur [a, b] et si g est monotone, il existe un réel c de [a, b] tel que
- Première formule :
- Deuxième formule :
La première formule se démontre comme dans le cas où g est continûment dérivable. La deuxième s'en déduit grâce au théorème d'intégration par parties. Un corollaire de cette deuxième formule est : si h est intégrable sur [a, b] et si g est monotone, il existe un c ∈ [a, b] tel que
Si g est non seulement monotone mais décroissante positive, on peut la rendre nulle en b avant de lui appliquer ce corollaire (cela ne change pas la valeur de ∫b
a g(x)h(x) dx).
Notes et références
[modifier | modifier le code]- (en) Tom M. Apostol, Mathematical Analysis, Pearson, , 2e éd., p. 141-142 (Def. 7.1 et Note), donne une autre définition : pour tout réel ε > 0, il existe une subdivision Pε de [a, b] telle que pour tout raffinement P = (xi) de Pε et tout marquage (ξi) de P, , et souligne qu'elle n'est pas équivalente à celle donnée ici. Son contre-exemple (p. 174, exercice 7.3.b) est f = χ]c, b], g = χ[c, b].
- (en) Einar Hille et Ralph S. Phillips, Functional Analysis and Semi-groups, vol. 1, AMS, (1re éd. 1957) (lire en ligne), p. 62.
- (en) Jie Xiao, Integral and Functional Analysis, Nova Science Publishers, , 287 p. (ISBN 978-1-60021-784-5, lire en ligne), p. 54.
- (en) Hugh L. Montgomery et R. C. Vaughan, Multiplicative Number Theory I : Classical Theory, Cambridge (GB), CUP, , 552 p. (ISBN 978-0-521-84903-6, lire en ligne), « Appendix A: The Riemann–Stieltjes integral », p. 486.
- (en) Norman B. Haaser et Joseph A. Sullivan, Real Analysis, Dover, (présentation en ligne), p. 255.
- Hille et Phillips 1996, p. 63.
- Xiao 2008, p. 60.
Voir aussi
[modifier | modifier le code]Articles connexes
[modifier | modifier le code]- Intégrale de Lebesgue
- Intégration de Lebesgue-Stieltjes
- Intégrale de Kurzweil-Henstock
- Intégrale d'Itō
- Formule sommatoire d'Abel
Bibliographie
[modifier | modifier le code]- (en) H. Jeffreys et B. S. Jeffreys, Methods of Mathematical Physics, CUP, , 3e éd., 718 p. (ISBN 978-0-521-66402-8, lire en ligne), chap. 1, §10 (« Integration: Riemann, Stieltjes »), p. 26-36
- (en) H. Kestelman, Modern Theories of Integration, New York, Dover Publications, , chap. 11 (« Riemann-Stieltjes Integration »), p. 247-269