Matrice de Pascal

En mathématiques, plus particulièrement en algèbre linéaire et en combinatoire, les matrices de Pascal sont des matrices faisant intervenir le triangle de Pascal sous diverses formes.

Définitions

Matrices de Pascal triangulaires

La matrice de Pascal triangulaire supérieure T est la matrice infinie à coefficients entiers indexée sur $\mathbb {N} ^{2}$ définie par $T(i,j)={\binom {j}{i}}=C_{j}^{i}$ , avec la convention ${\binom {i}{j}}=0$ si $i>j$ .

Tronquée à l'ordre n on obtient une matrice $T_{n}$ à n+1 lignes et n+1 colonnes ; par exemple : $T_{4}={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\0&1&2&3&4\\0&0&1&3&6\\0&0&0&1&4\\0&0&0&0&1\end{pmatrix}}$ .

La transposée U de la matrice T est la matrice de Pascal triangulaire inférieure définie par $U(i,j)={\binom {i}{j}}$ . Elle présente la forme habituelle du triangle de Pascal. Par exemple : $U_{4}={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\1&1&0&0&0\\1&2&1&0&0\\1&3&3&1&0\\1&4&6&4&1\end{pmatrix}}$ .

Matrice de Pascal symétrique

Le produit UT donne une matrice symétrique S définie par $S(i,j)={\binom {i+j}{i}}$ ^[1]. Elle présente le triangle de Pascal habituel tourné de 45° ; par exemple $S_{4}={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\1&2&3&4&5\\1&3&6&10&15\\1&4&10&20&35\\1&5&15&35&70\end{pmatrix}}.$

Ceci vient de la formule de convolution pour les coefficients binomiaux, en effet :

S(i,j)=\sum _{k}T(i,k)U(k,j)=\sum _{k}{\binom {i}{k}}{\binom {j}{k}}=\sum _{k}{\binom {i}{i-k}}{\binom {j}{k}}={\binom {i+j}{i}}

.

Interprétation comme matrice d'un endomorphisme polynomial

La matrice T est la matrice relative à la base canonique $(1,X,X^{2},...)$ de l'endomorphisme $\varphi$ de $\mathbb {R} [X]$ qui à P associe P(X + 1).

Ceci vient de la formule du binôme. En effet

(X+1)^{j}=\sum _{i}{\binom {j}{i}}X^{i}=\sum _{i}T(i,j)X^{i}

.

Calcul de la matrice de Pascal triangulaire comme exponentielle de la matrice de la dérivation

La formule de Taylor appliquée aux polynômes permet d'écrire $P(X+1)=\sum _{k}{\frac {P^{(k)}(X)}{k!}}$ ; on peut donc écrire l'endomorphisme $\varphi$ sous la forme $\varphi =\sum _{k}{\frac {\delta ^{k}}{k!}}$ où $\delta$ est l'endomorphisme de dérivation. Si on appelle D la matrice canonique de $\delta$ , on obtient $T=\sum _{k}{\frac {D^{k}}{k!}}$ qui n'est autre que l'exponentielle de la matrice D.

Cette matrice D, définie par $D(i,j)=j$ si $i=j-1$ , $D(i,j)=0$ sinon, est la matrice triangulaire supérieure stricte dont la sur-diagonale contient $1,2,3,...$ .

Sa transposée est la matrice triangulaire inférieure stricte dont la sous-diagonale contient $1,2,3,...$ .

En passant aux matrices tronquées, on obtient $\exp(D_{n})=T_{n}$ et $\exp(D_{n}^{T})=U_{n}$ .

Par exemple pour n = 4, on obtient : $D_{4}^{T}={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&2&0&0&0\\0&0&3&0&0\\0&0&0&4&0\end{pmatrix}}$ donc^[1] $U_{4}={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\1&1&0&0&0\\1&2&1&0&0\\1&3&3&1&0\\1&4&6&4&1\end{pmatrix}}=\exp {\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&2&0&0&0\\0&0&3&0&0\\0&0&0&4&0\end{pmatrix}}$ .

Propriétés

Puissances entières des matrices de Pascal triangulaires

Comme $\varphi (P(X))=P(X+1)$ , on a $\varphi ^{m}(P(X))=P(X+m)$ pour tout entier m. On en déduit directement $T^{m}(i,j)=m^{j-i}T(i,j)$ et $U^{m}(i,j)=m^{i-j}U(i,j)$ .

Par exemple : ${\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\0&1&2&3&4\\0&0&1&3&6\\0&0&0&1&4\\0&0&0&0&1\end{pmatrix}}^{m}={\begin{pmatrix}1&m&m^{2}&m^{3}&m^{4}\\0&1&2m&3m^{2}&4m^{3}\\0&0&1&3m&6m^{2}\\0&0&0&1&4m\\0&0&0&0&1\end{pmatrix}}$ .

Inverses des matrices de Pascal

Les trois matrices $T,U,S$ ont pour inverses des matrices où les coefficients de la matrice de départ ont été changés de signe "en damier".

Plus précisément $T^{-1}(i,j)=(-1)^{i+j}T(i,j)$ et de même pour $U,S$ .

Par exemple : ${\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\1&2&3&4&5\\1&3&6&10&15\\1&4&10&20&35\\1&5&15&35&70\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}1&-1&1&-1&1\\-1&2&-3&4&-5\\1&-3&6&-10&15\\-1&4&-10&20&-35\\1&-5&15&-35&70\end{pmatrix}}.$

Démonstration

Pour T et U, on fait m = -1 dans les formules précédentes

Pour la matrice S, il suffit d'écrire :

S_{n}^{-1}(i,j)=(U_{n}T_{n})^{-1}(i,j)=\sum _{k}T_{n}^{-1}(i,k)U_{n}^{-1}(k,j)=\sum _{k}(-1)^{i+k+k+j}T_{n}(i,k)U_{n}(k,j)=(-1)^{i+j}S_{n}(i,j)

Déterminant des matrices de Pascal finies

Les deux matrices triangulaires $T_{n},U_{n}$ sont évidemment de déterminant 1, et comme $S_{n}=U_{n}T_{n}$ , la matrice $S_{n}$ est aussi de déterminant 1.