Sphère circonscrite
En géométrie, une sphère circonscrite à un polyèdre est une sphère contenant le polyèdre et dont tous les sommets du polyèdre sont sur la surface de la sphère[1]. Il s'agit d'une extension du cercle circonscrit en dimension 3.
Existence, unicité et optimalité
[modifier | modifier le code]En cas d'existence, une sphère circonscrite n'est pas la plus petite sphère contenant le polyèdre ; par exemple, le tétraèdre rectangle formé par un sommet d'un cube et ses trois voisins admet la sphère circonscrite au cube comme sphère circonscrite, mais il existe une sphère englobante à ce tétraèdre plus petite, celle avec les trois sommets voisins sur son équateur.
Cependant, la plus petite sphère contenant un polyèdre est liée à la notion de sphère circonscrite de la façon suivante. Pour n'importe quel polyèdre, la plus petite sphère contenant ce polyèdre est toujours :
- soit la sphère circonscrite au tétraèdre défini par 4 points parmi les sommets du polyèdre,
- soit la sphère ayant même centre et même rayon que le cercle circonscrit au triangle défini par 3 points parmi les sommets du polyèdre,
- soit la sphère dont un diamètre est le segment reliant 2 points parmi les sommets du polyèdre[2].
De même qu'un triangle dans le plan admet un unique cercle circonscrit, il existe pour tout tétraèdre non aplati une unique sphère circonscrite passant par ses quatre sommets.
- Sphères circonscrites des solides de Platon
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Tétraèdre.
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Cube.
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Octaèdre.
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Dodécaèdre.
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Icosaèdre.
Concepts liés
[modifier | modifier le code]La sphère circonscrite est l'analogue en dimension 3 du cercle circonscrit.
Tous les polyèdres réguliers ont des sphères circonscrites, mais la plupart des polyèdres irréguliers n'en ont pas. La sphère circonscrite - quand elle existe - est un exemple de sphère englobante, une sphère qui contient une forme donnée. Il est possible de définir la plus petite sphère englobante de tout polyèdre, et de la déterminer en un temps linéaire[2].
On peut définir d'autres sphères pour certains polyèdres comme la sphère médiane, une sphère tangente aux côtés du polyèdre, et une sphère inscrite, qui est elle tangente aux faces - cette distinction n'existe pas en dimension 2 où les deux concepts se résumant au cercle inscrit à un polygone. Dans un polyèdre régulier, les sphères circonscrite, médiane et inscrite existent toutes et sont concentriques[3].
Tout polyèdre inscriptible dans une sphère peut être vu comme un polyèdre idéal en géométrie hyperbolique[4].
Extensions aux dimensions supérieures
[modifier | modifier le code]Références
[modifier | modifier le code]- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Circumscribed sphere » (voir la liste des auteurs).
- (en) R. C. James, The Mathematics Dictionary, Springer, , 560 p. (ISBN 978-0-412-99041-0, lire en ligne), p. 62.
- (en) Kaspar Fischer, Bernd Gärtner et Martin Kutz, « Algorithms - ESA 2003: 11th Annual European Symposium, Budapest, Hungary, September 16-19, 2003, Proceedings », Lecture Notes in Computer Science, Springer, vol. 2832, , p. 630–641 (DOI 10.1007/978-3-540-39658-1_57, lire en ligne).
- (en) H. S. M. Coxeter, Regular Polytopes, New York, Dover, , 3e éd., 16–17 p. (ISBN 0-486-61480-8, lire en ligne), « 2.1 Regular polyhedra; 2.2 Reciprocation ».
- Silvio Levy, Three-dimensional geometry and topology, Princeton University Press, 1997- (ISBN 0-691-08304-5 et 978-0-691-08304-9, OCLC 35849030, lire en ligne)
Voir aussi
[modifier | modifier le code]Articles connexes
[modifier | modifier le code]Liens externes
[modifier | modifier le code]- (en) Eric W. Weisstein, « Circumsphere », sur MathWorld