En mathématiques , les polynômes de Laguerre , nommés d'après Edmond Laguerre ,
sont les solutions normalisées de l'équation de Laguerre :
x
y
″
+
(
1
−
x
)
y
′
+
n
y
=
0
{\displaystyle x\,y''+(1-x)\,y'+n\,y=0\,}
qui est une équation différentielle linéaire homogène d'ordre 2 et se réécrit sous la forme de Sturm-Liouville :
−
d
d
x
(
x
e
−
x
d
y
d
x
)
=
n
e
−
x
y
.
{\displaystyle -{{\rm {d}} \over {\rm {d}}x}\left(x{\rm {e}}^{-x}{{\rm {d}}y \over {\rm {d}}x}\right)=n{\rm {e}}^{-x}y.}
Cette équation a des solutions non singulières seulement si n entier positif .
Les solutions Ln suite de polynômes orthogonaux dans L2 + , e–x dx base orthonormée . Ils forment même une base de Hilbert de L2 (ℝ+ , e–x dx ).
Cette suite de polynômes peut être définie par la formule de Rodrigues
L
n
(
x
)
=
e
x
n
!
d
n
d
x
n
(
e
−
x
x
n
)
.
{\displaystyle L_{n}(x)={\frac {\mathrm {e} ^{x}}{n!}}{\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}x^{n}}}\left(\mathrm {e} ^{-x}x^{n}\right).}
La suite des polynômes de Laguerre est une suite de Sheffer .
Les polynômes de Laguerre apparaissent en mécanique quantique dans la partie radiale de la solution de l'équation de Schrödinger pour un atome à un électron[ 1]
Le coefficient dominant de Ln (–1)n n ! . Les physiciens utilisent souvent une définition des polynômes de Laguerre où ceux-ci sont multipliés par (–1)n n ! , obtenant ainsi des polynômes unitaires .
Voici les premiers polynômes de Laguerre :
n
L
n
(
x
)
{\displaystyle L_{n}(x)\,}
0
1
{\displaystyle 1\,}
1
−
x
+
1
{\displaystyle -x+1\,}
2
1
2
(
x
2
−
4
x
+
2
)
{\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(x^{2}-4x+2)\,}
3
1
6
(
−
x
3
+
9
x
2
−
18
x
+
6
)
{\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{6}}\end{matrix}}(-x^{3}+9x^{2}-18x+6)\,}
4
1
24
(
x
4
−
16
x
3
+
72
x
2
−
96
x
+
24
)
{\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{24}}\end{matrix}}(x^{4}-16x^{3}+72x^{2}-96x+24)\,}
5
1
120
(
−
x
5
+
25
x
4
−
200
x
3
+
600
x
2
−
600
x
+
120
)
{\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{120}}\end{matrix}}(-x^{5}+25x^{4}-200x^{3}+600x^{2}-600x+120)\,}
6
1
720
(
x
6
−
36
x
5
+
450
x
4
−
2400
x
3
+
5400
x
2
−
4320
x
+
720
)
{\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{720}}\end{matrix}}(x^{6}-36x^{5}+450x^{4}-2400x^{3}+5400x^{2}-4320x+720)\,}
Les six premiers polynômes de Laguerre En désignant H (x )fonction de Heaviside , on a l'égalité :
L
{
H
(
x
)
L
n
(
x
)
}
=
L
{
H
(
x
)
e
x
n
!
d
n
d
x
n
(
e
−
x
x
n
)
}
=
n
!
z
(
z
−
1
z
)
n
{\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{H(x)L_{n}(x)\right\}={\mathcal {L}}\left\{H(x){\frac {\mathrm {e} ^{x}}{n!}}{\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}x^{n}}}\left(\mathrm {e} ^{-x}x^{n}\right)\right\}={\frac {n!}{z}}\left({\frac {z-1}{z}}\right)^{n}}
La série génératrice pour les polynômes de Laguerre est
∑
n
=
0
∞
L
n
(
x
)
t
n
n
!
=
e
−
x
t
/
(
1
−
t
)
1
−
t
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }L_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}\,={\frac {{\rm {e}}^{-xt/(1-t)}}{1-t}}}
Démonstration
Calculons tout d'abord la transformée de Laplace de la fonction génératrice des polynômes de Laguerre:
L
{
∑
n
=
0
∞
L
n
(
x
)
t
n
n
!
}
=
∑
n
=
0
∞
L
{
L
n
(
x
)
}
t
n
n
!
=
∑
n
=
0
∞
n
!
z
(
z
−
1
z
)
n
t
n
n
!
=
1
z
∑
n
=
0
∞
(
t
−
t
z
)
n
{\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{\sum _{n=0}^{\infty }L_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}\right\}=\sum _{n=0}^{\infty }{\mathcal {L}}\{L_{n}(x)\}{\frac {t^{n}}{n!}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n!}{z}}\left({\frac {z-1}{z}}\right)^{n}{\frac {t^{n}}{n!}}={\frac {1}{z}}\sum _{n=0}^{\infty }\left(t-{\frac {t}{z}}\right)^{n}}
La convergence de cette série est assurée pour
|
t
−
t
z
|
<
1
{\displaystyle \left|t-{\frac {t}{z}}\right|<1}
∑
n
=
0
∞
(
t
−
t
z
)
n
=
lim
n
→
∞
1
−
(
t
−
t
z
)
n
+
1
1
−
(
t
−
t
z
)
=
1
1
−
t
+
t
z
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\left(t-{\frac {t}{z}}\right)^{n}=\lim \limits _{n\to \infty }{\frac {1-(t-{\frac {t}{z}})^{n+1}}{1-(t-{\frac {t}{z}})}}={\frac {1}{1-t+{\frac {t}{z}}}}}
Donc
L
{
∑
n
=
0
∞
L
n
(
x
)
t
n
n
!
}
=
1
z
1
1
−
t
+
t
z
=
1
1
−
t
1
z
+
t
1
−
t
=
1
1
−
t
L
{
e
−
x
t
1
−
t
}
{\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{\sum _{n=0}^{\infty }L_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}\right\}={\frac {1}{z}}{\frac {1}{1-t+{\frac {t}{z}}}}={\frac {1}{1-t}}{\frac {1}{z+{\frac {t}{1-t}}}}={\frac {1}{1-t}}{\mathcal {L}}\left\{{\rm {e}}^{-x{\frac {t}{1-t}}}\right\}}
L
{
e
−
a
x
}
=
1
z
+
a
{\displaystyle {\mathcal {L}}\{{\rm {e}}^{-ax}\}={\frac {1}{z+a}}}
On en déduit finalement
∑
n
=
0
∞
L
n
(
x
)
t
n
n
!
=
1
1
−
t
e
−
x
t
1
−
t
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }L_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}={\frac {1}{1-t}}{\rm {e}}^{-x{\frac {t}{1-t}}}}
Le n -ième polynôme de Laguerre satisfait l'équation différentielle suivante :
x
L
n
″
(
x
)
+
(
1
−
x
)
L
n
′
(
x
)
+
n
L
n
(
x
)
=
0.
{\displaystyle xL_{n}''(x)+(1-x)L_{n}'(x)+nL_{n}(x)=0.\,}
On a aussi la suite récurrente suivante :
(
n
+
1
)
L
n
+
1
(
x
)
+
(
x
−
2
n
−
1
)
L
n
(
x
)
+
n
L
n
−
1
(
x
)
=
0.
{\displaystyle (n+1)L_{n+1}(x)+(x-2n-1)L_{n}(x)+nL_{n-1}(x)=0.\,}
Les polynômes respectent la propriété
x
L
n
′
(
x
)
−
n
L
n
(
x
)
+
n
L
n
−
1
(
x
)
=
0.
{\displaystyle xL_{n}'(x)-nL_{n}(x)+nL_{n-1}(x)=0.\,}
Les polynômes peuvent être exprimés en termes d'une intégrale de contour
L
n
(
x
)
=
1
2
π
i
∮
e
−
x
t
/
(
1
−
t
)
(
1
−
t
)
t
n
+
1
d
t
{\displaystyle L_{n}(x)={\frac {1}{2\pi {\rm {i}}}}\oint {\frac {{\rm {e}}^{-xt/(1-t)}}{(1-t)\,t^{n+1}}}\,{\rm {d}}t}
où le contour entoure l'origine une fois dans le sens trigonométrique.
La propriété d'orthogonalité évoquée plus haut revient à dire que si X est une variable aléatoire distribuée exponentiellement avec la fonction densité de probabilité
f
(
x
)
=
{
e
−
x
si
x
>
0
,
0
si
x
<
0
,
{\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{matrix}{\rm {e}}^{-x}&{\mbox{si}}\ x>0,\\0&{\mbox{si}}\ x<0,\end{matrix}}\right.}
alors
E
(
L
n
(
X
)
L
m
(
X
)
)
=
0
si
n
≠
m
.
{\displaystyle \mathbb {E} (L_{n}(X)L_{m}(X))=0\ {\mbox{si}}\ n\neq m.}
La distribution exponentielle n'est pas la seule distribution Gamma . Une suite de polynômes orthogonaux par rapport à la distribution gamma dont la fonction densité de probabilité est, pour α > –1
f
(
x
)
=
{
x
α
e
−
x
/
Γ
(
1
+
α
)
si
x
>
0
,
0
si
x
<
0
,
{\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{matrix}x^{\alpha }{\rm {e}}^{-x}/\Gamma (1+\alpha )&{\mbox{si}}\ x>0,\\0&{\mbox{si}}\ x<0,\end{matrix}}\right.}
(cf. fonction gamma ) est donnée par la formule de Rodrigues pour les polynômes de Laguerre généralisés :
L
n
(
α
)
(
x
)
=
x
−
α
e
x
n
!
d
n
d
x
n
(
e
−
x
x
n
+
α
)
.
{\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)={x^{-\alpha }{\rm {e}}^{x} \over n!}{{\rm {d}}^{n} \over {\rm {d}}x^{n}}\left({\rm {e}}^{-x}x^{n+\alpha }\right).}
Ils sont parfois appelés les polynômes de Laguerre associés . On retrouve les polynômes de Laguerre simples en prenant α = 0
L
n
(
0
)
(
x
)
=
L
n
(
x
)
.
{\displaystyle L_{n}^{(0)}(x)=L_{n}(x).}
Les polynômes de Laguerre généralisés sont orthogonaux sur [0 , ∞[ par rapport à la fonction de poids xα e–x
∫
0
∞
e
−
x
x
α
L
n
(
α
)
(
x
)
L
m
(
α
)
(
x
)
d
x
=
Γ
(
n
+
α
+
1
)
n
!
δ
n
m
.
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\rm {e}}^{-x}x^{\alpha }L_{n}^{(\alpha )}(x)L_{m}^{(\alpha )}(x){\rm {d}}x={\frac {\Gamma (n+\alpha +1)}{n!}}\delta _{nm}.}
Les polynômes de Laguerre généralisés obéissent à l'équation différentielle
x
L
n
(
α
)
′
′
(
x
)
+
(
α
+
1
−
x
)
L
n
(
α
)
′
(
x
)
+
n
L
n
(
α
)
(
x
)
=
0.
{\displaystyle xL_{n}^{(\alpha )\prime \prime }(x)+(\alpha +1-x)L_{n}^{(\alpha )\prime }(x)+nL_{n}^{(\alpha )}(x)=0.\,}
Les premiers polynômes de Laguerre généralisés sont
L
0
(
α
)
(
x
)
=
1
{\displaystyle L_{0}^{(\alpha )}(x)=1}
L
1
(
α
)
(
x
)
=
−
x
+
α
+
1
{\displaystyle L_{1}^{(\alpha )}(x)=-x+\alpha +1}
L
2
(
α
)
(
x
)
=
x
2
2
−
(
α
+
2
)
x
+
(
α
+
2
)
(
α
+
1
)
2
{\displaystyle L_{2}^{(\alpha )}(x)={\frac {x^{2}}{2}}-(\alpha +2)x+{\frac {(\alpha +2)(\alpha +1)}{2}}}
L
3
(
α
)
(
x
)
=
−
x
3
6
+
(
α
+
3
)
x
2
2
−
(
α
+
2
)
(
α
+
3
)
x
2
+
(
α
+
1
)
(
α
+
2
)
(
α
+
3
)
6
{\displaystyle L_{3}^{(\alpha )}(x)={\frac {-x^{3}}{6}}+{\frac {(\alpha +3)x^{2}}{2}}-{\frac {(\alpha +2)(\alpha +3)x}{2}}+{\frac {(\alpha +1)(\alpha +2)(\alpha +3)}{6}}}
Le calcul de la dérivée d'ordre k de la représentation en série d'un polynôme de Laguerre généralisé fois conduit à
d
k
d
x
k
L
n
(
α
)
(
x
)
=
(
−
1
)
k
L
n
−
k
(
α
+
k
)
(
x
)
.
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} x^{k}}}L_{n}^{(\alpha )}(x)=(-1)^{k}L_{n-k}^{(\alpha +k)}(x).}
Les polynômes de Laguerre généralisés apparaissent dans le traitement de l'oscillateur harmonique quantique , à cause de leur relation aux polynômes d'Hermite , qui peuvent être exprimés par
H
2
n
(
x
)
=
(
−
1
)
n
2
2
n
n
!
L
n
(
−
1
/
2
)
(
x
2
)
{\displaystyle H_{2n}(x)=(-1)^{n}\,2^{2n}n!\,L_{n}^{(-1/2)}(x^{2})}
et
H
2
n
+
1
(
x
)
=
(
−
1
)
n
2
2
n
+
1
n
!
x
L
n
(
1
/
2
)
(
x
2
)
{\displaystyle H_{2n+1}(x)=(-1)^{n}\,2^{2n+1}n!\,xL_{n}^{(1/2)}(x^{2})}
où les
H
n
(
x
)
{\displaystyle H_{n}(x)}
polynômes d'Hermite .
Les polynômes de Laguerre peuvent être reliés aux fonctions hypergéométriques , plus précisément à la fonction hypergéométrique confluente , par
L
n
(
α
)
(
x
)
=
(
n
+
α
n
)
M
(
−
n
,
α
+
1
,
x
)
=
(
α
+
1
)
n
n
!
1
F
1
(
−
n
,
α
+
1
,
x
)
{\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)={n+\alpha \choose n}M(-n,\alpha +1,x)={\frac {(\alpha +1)_{n}}{n!}}\,_{1}F_{1}(-n,\alpha +1,x)}
où
(
a
)
n
{\displaystyle (a)_{n}}
symbole de Pochhammer (qui, dans ce cas particulier, est utilisé pour représenter la factorielle croissante
a
(
a
+
1
)
(
a
+
2
)
.
.
.
(
a
+
n
−
1
)
{\displaystyle a(a+1)(a+2)...(a+n-1)}
(en) George Arfken et Hans Weber, Mathematical Methods for Physicists , Academic Press , 2000 (ISBN 0-12-059825-6