Test de Shapiro-Wilk

Test de Shapiro-Wilk

Type	Test de normalité
Nommé en référence à	Samuel Sanford Shapiro, Martin Wilk
Formule	$W={\left(\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}x_{(i)}\right)^{2} \over \sum \limits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}$

En statistique, le test de Shapiro–Wilk teste l'hypothèse nulle selon laquelle un échantillon $x_{1},\dots ,x_{n}$ est issu d'une population normalement distribuée. Il a été publié en 1965 par Samuel Sanford Shapiro et Martin Wilk.

Théorie

La statistique de test $W$ est:

$W={\left(\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}x_{(i)}\right)^{2} \over \sum \limits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}$

où

• x_(i) (avec des parenthèses entourant l'indice i) désigne la ième statistique d'ordre, i.e., le ième plus petit nombre dans l'échantillon;
• ${\overline {x}}={\tfrac {1}{n}}(x_{1}+\cdots +x_{n})$ est la moyenne de l'échantillon;
• la constante a_i est donnée par

$(a_{1},\dots ,a_{n})={m^{\top }V^{-1} \over (m^{\top }V^{-1}V^{-1}m)^{1/2}}$

où

$m=(m_{1},\dots ,m_{n})^{\top }\,$

et $m_{1},\dots ,m_{n}$ sont les espérances des statistiques d'ordre d'un échantillon de variables iid suivant une loi normale, et V est la matrice de variance-covariance de ces statistiques d'ordre.

Pour conclure, $W$ est alors comparé à une table.

Interprétation

Sachant que l'hypothèse nulle est que la population est normalement distribuée,

• si la p-value est inférieure à un niveau alpha choisi (par exemple 0.05), alors l'hypothèse nulle est rejetée (i.e. il est improbable d'obtenir de telles données en supposant qu'elles soient normalement distribuées).
• si la p-value est supérieure au niveau alpha choisi (par exemple 0.05), alors on ne doit pas rejeter l'hypothèse nulle. La valeur de la p-value alors obtenue ne présuppose en rien de la nature de la distribution des données.

Voir aussi Q-Q plot ou droite de Henry.

Mise en œuvre

• shapiro.test() avec R.

Voir aussi

• Loi normale
• Test de Kolmogorov-Smirnov
• Droite de Henry

Liens externes

• Algorithm AS R94 (Shapiro Wilk) FORTRAN code
• Shapiro–Wilk Normality Test in CRAN
• Shapiro–Wilk Normality Test in QtiPlot
• How do I interpret the Shapiro-Wilk test for normality?
• Online version of the Shapiro-Wilk test
• Test de Shapiro avec R
• Test de Shapiro avec Python