Grupo de automorfismos

En matemáticas, o grupo de automorfismos dun obxecto X é o grupo formado polos automorfismos de X baixo composición de morfismos. Por exemplo, se X é un espazo vectorial de dimensións finitas, entón o grupo de automorfismos de X é o grupo de transformacións lineares invertíbeis de X en si mesmo (o grupo linear xeral de X). Se X é un grupo, entón o seu grupo de automorfismos $\operatorname {Aut} (X)$ é o grupo formado por todos os automorfismos de grupo de X.

Especialmente en contextos xeométricos, un grupo de automorfismos tamén se denomina grupo de simetría. Un subgrupo dun grupo de automorfismos ás veces chámase grupo de transformación.

Os grupos de automorfismos estúdanse de forma xeral no campo da teoría de categorías .

Exemplos

Se X é un conxunto sen estrutura adicional, entón calquera bixección de X en si mesmo é un automorfismo e, polo tanto, o grupo de automorfismos de X neste caso é precisamente o grupo simétrico de X. Se o conxunto X ten estrutura adicional, entón pode darse o caso de que non todas as bixeccións do conxunto conserven esta estrutura, nese caso o grupo de automorfismos será un subgrupo do grupo simétrico de X. Algúns exemplos disto son:

• O grupo de automorfismos dunha extensión dun corpo $L/K$ é o grupo formado polos automorfismos do corpo de L que fixan K. Se a extensión do corpo é Galois, o grupo de automorfismo chámase grupo de Galois da extensión do corpo.
• O grupo de automorfismos do n-espazo proxectivo sobre un corpo k é o grupo linear proxectivo $\operatorname {PGL} _{n}(k).$
• O grupo do automorfismo $G$ dun grupo cíclico finito de orde n é isomorfo a $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }$, o grupo multiplicativo dos números enteiros módulo n, co isomorfismo dado por ${\overline {a}}\mapsto \sigma _{a}\in G,\,\sigma _{a}(x)=x^{a}$. En particular, $G$ é un grupo abeliano.
• O grupo de automorfismos dunha álxebra de Lie real de dimensión finita ${\mathfrak {g}}$ ten a estrutura dun grupo de Lie (real) (de feito, mesmo é un grupo alxébrico linear: ver máis abaix ). Se G é un grupo de Lie con álxebra de Lie ${\mathfrak {g}}$, entón o grupo de automorfismo de G ten unha estrutura dun grupo de Lie inducida a partir do grupo de automorfismos de ${\mathfrak {g}}$.

Se G é un grupo que actúa sobre un conxunto X, a acción equivale a un homomorfismo de grupo de G no grupo de automorfismos de X e viceversa. De feito, cada acción G pola esquerda nun conxunto X determina $G\to \operatorname {Aut} (X),\,g\mapsto \sigma _{g},\,\sigma _{g}(x)=g\cdot x$, e viceversa, cada homomorfismo $\varphi :G\to \operatorname {Aut} (X)$ define unha acción por $g\cdot x=\varphi (g)x$. Isto esténdese ao caso en que o conxunto X ten máis estrutura que só un conxunto. Por exemplo, se X é un espazo vectorial, entón unha acción de grupo de G sobre X é unha representación de grupo do grupo G, representando a G como un grupo de transformacións lineares (automorfismos) de X; estas representacións son o principal obxecto de estudo no campo da teoría da representación.

Aquí temos outros datos sobre o grupo de automorfismos:

• Sexan $A,B$ dous conxuntos finitos da mesma cardinalidade e $\operatorname {Iso} (A,B)$ o conxunto de todas as bixeccións $A\mathrel {\overset {\sim }{\to }} B$. Entón $\operatorname {Aut} (B)$, que é un grupo simétrico (ver arriba), actúa sobre $\operatorname {Iso} (A,B)$ dende a esquerda libre e transitivamente; é dicir, $\operatorname {Iso} (A,B)$ é un torsor para $\operatorname {Aut} (B)$ (cf. #En teoría de categorías ).
• Sexa P un módulo proxectivo finitamente xerado sobre un anel R. Daquela hai un mergullo $\operatorname {Aut} (P)\hookrightarrow \operatorname {GL} _{n}(R)$, único ata os automorfismos internos.

En teoría de categorías

Os grupos de automorfismos aparecen moi naturalmente na teoría de categorías.

Se X é un obxecto nunha categoría, entón o grupo de automorfismos de X é o grupo formado por todos os morfismos invertibles de X en si mesmo. É o grupo unitario do monoide do endomorfismo de X. (Para algúns exemplos, consulte PROP .)

Se $A,B$ son obxectos nalgunha categoría, entón o conxunto $\operatorname {Iso} (A,B)$ de tódolos $A\mathrel {\overset {\sim }{\to }} B$ é torsor pola esquerda $\operatorname {Aut} (B)$. En termos prácticos, isto di que unha escolla diferente dun punto base de $\operatorname {Iso} (A,B)$ difire sen ambigüidades por un elemento de $\operatorname {Aut} (B)$, ou que cada escolla dun punto base é precisamente unha escolla dunha trivialización do torsor.

Se $X_{1}$ e $X_{2}$ son obxectos en categorías $C_{1}$ e $C_{2}$, e se $F:C_{1}\to C_{2}$ é un mapeo de funtores $X_{1}$ a $X_{2}$, entón $F$ induce un homomorfismo de grupos $\operatorname {Aut} (X_{1})\to \operatorname {Aut} (X_{2})$, xa que mapea morfismos invertibles a morfismos invertibles.

En particular, se G é un grupo visto como unha categoría cun único obxecto * ou, de xeito máis xeral, se G é un grupoide, entón cada funtor $F:G\to C$, C unha categoría, chámase acción ou representación de G sobre o obxecto $F(*)$, ou os obxectos $F(\operatorname {Obj} (G))$. Dise logo que eses obxectos son $G$-obxectos (pois son actuados por $G$); cf. $\mathbb {S}$-obxecto. Se $C$ é unha categoría de módulo como a categoría de espazos vectoriais de dimensión finita, entón os $G$-obxectos tamén se chaman $G$-módulos.

Funtor do grupo de automorfismos

Sexa $M$ un espazo vectorial de dimensións finitas sobre un corpo k que está equipado con algunha estrutura alxébrica (é dicir, M é unha álxebra de dimensións finitas sobre k). Pode ser, por exemplo, unha álxebra asociativa ou unha álxebra de Lie.

Agora, considere os mapas k-lineares $M\to M$ que conservan a estrutura alxébrica: forman un subespazo vectorial $\operatorname {End} _{\text{alg}}(M)$ de $\operatorname {End} (M)$. O grupo unitario de $\operatorname {End} _{\text{alg}}(M)$ é o grupo do automorfismo $\operatorname {Aut} (M)$. Cando se escolle unha base en M, $\operatorname {End} (M)$ é o espazo das matrices cadradas e $\operatorname {End} _{\text{alg}}(M)$ é o conxunto cero dalgunhas ecuacións polinómicas, e a invertibilidade descríbese de novo mediante polinomios. Polo tanto, $\operatorname {Aut} (M)$ é un grupo alxébrico linear sobre k .

Agora as extensións de base aplicadas á discusión anterior determinan un functor: é dicir, para cada anel conmutativo R sobre k, considere os mapas R-lineares $M\otimes R\to M\otimes R$ preservando a estrutura alxébrica, que denotamos como $\operatorname {End} _{\text{alg}}(M\otimes R)$. A continuación, o grupo unitario do anel matricial $\operatorname {End} _{\text{alg}}(M\otimes R)$ sobre R é o grupo de automorfismos $\operatorname {Aut} (M\otimes R)$ e $R\mapsto \operatorname {Aut} (M\otimes R)$ é un functor de grupo: un functor da categoría de aneis conmutativos sobre k ata a categoría de grupos. Aínda mellor, está representado por un esquema (xa que os grupos de automorfismos están definidos por polinomios): este esquema denomínase esquema de grupo de automorfismos e denótase por $\operatorname {Aut} (M)$.

En xeral, porén, un functor de grupo de automorfismos pode non estar representado por un esquema.

Véxase tamén

Bibliografía

• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra (3rd ed.). Wiley. ISBN 978-0-471-43334-7. 
• Milnor, John Willard (1971). Introduction to algebraic K-theory. Annals of Mathematics Studies 72. Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 9780691081014. MR 0349811. Zbl 0237.18005. 
• Waterhouse, William C. (2012) [1979]. Introduction to Affine Group Schemes. Graduate Texts in Mathematics 66. Springer Verlag. ISBN 9781461262176. 

Outros artigos

• Grupo de automorfismos externo
• Estrutura de nivel, unha técnica para eliminar un grupo de automorfismo
• Grupo de holonomía

Ligazóns externas

• automorphism-group-of-a-scheme.