Problemas de Hilbert

Os problemas de Hilbert conforman unha listaxe de 23 problemas matemáticos compilados polo matemático alemán David Hilbert para a conferencia en París do Congreso Internacional de Matemáticos de 1900. Os problemas estaban todos por resolver naquel momento, e varios resultarían ser moi influentes na matemática do século XX. Hilbert presentou dez dos problemas (1, 2, 6, 7, 8, 13, 16, 19, 21 e 22) na conferencia, nun acto o 8 de agosto na Sorbona. A listaxe completa publicouse máis adiante.

Natureza e influencia dos problemas

Aínda que se produciron intentos de repetir o éxito da listaxe de Hilbert, ningún outro conxunto tan variado de problemas ou conxecturas tivo un efecto comparable no desenvolvemento da materia nin obtivo unha celebridade tal. Por exemplo, as conxecturas de André Weil son famosas pero foron pouco publicitadas. Quizais o seu propio temperamento evitou que intentase poñerse en posición de competir con Hilbert. John von Neumann produciu unha listaxe, pero non obtivo recoñecemento universal.

A primeira vista, este éxito podería atribuírse á eminencia do autor dos problemas. Hilbert estaba na cúspide do seu poder e reputación naquel momento e continuou a dirixir a sobresaliente escola de matemática na Universidade de Göttingen. Un exame máis coidadoso revela que o asunto non é tan simple.

A matemática daquel tempo era aínda discursiva: a tendencia a substituír palabras por símbolos e apelacións á intuición e conceptos mediante axiomática pura seguía subxugada, aínda que se volvería forte durante a seguinte xeración. En 1900, Hilbert non puido acudir á teoría axiomática de conxuntos, á integral de Lebesgue, aos espazos topolóxicos ou á tese de Church, que cambiarían os seus respectivos campos de forma permanente. A análise funcional, fundada en certo modo polo propio Hilbert como noción central dos testemuños do espazo de Hilbert, non se diferenciara aínda do cálculo de variacións; hai na listaxe de problemas de matemática de variacións, pero nada, como podería asumirse inocentemente, sobre teoría espectral (o problema 19 ten unha conexión coa hipoelipticidade).

A listaxe non foi profética nese sentido: non conseguiu plasmar ou anticipar o fulgurante ascenso que experimentarían a topoloxía, a teoría de grupos e a teoría da medida no século XX, así como non previu o xeito en que ía a avanzar a lóxica matemática. Polo tanto, o seu valor documental é o de ensaio: unha visión parcial, persoal. Suxire algúns programas de investigación e algunhas direccións por seguir sen finalidade concreta.

De feito, moitas das preguntas daban unha falsa idea do matemático profesional do século XIX, ou incluso de 1950, no que a forma dunha solución a unha boa pregunta tomaría a forma dun artigo nunha publicación matemática. Se este fose o caso de todos os vinte e tres problemas, simplificaríase o comentario ata o punto de poder dar unha referencia a unha revista, ou considera a pregunta como aberta aínda. Nalgúns casos a linguaxe empregada por Hilbert continúa a considerarse un tanto "negociable", en canto ao significado real da formulación do problema (en ausencia de fundamentos axiomáticos, baseados en matemática pura, comezando co propio traballo de Hilbert sobre xeometría euclidiana, pasando polo Principia Mathematica, e rematando co grupo Bourbaki e o "terrorismo intelectual" para terminar o traballo). Os problemas Primeiro e Quinto atópanse, quizais sorprendentemente, nun estado de formulación dunha claridade menos que total. En casos como o Vixésimo, o problema podería lerse de forma razoable nunha versión "interna", relativamente accesible, na que se pode saber a que estaba apuntando Hilbert; ou como unha penumbra "externa" e especulativa.

A razón máis importante é a gran rapidez coa que aceptou a listaxe de Hilbert a comunidade matemática daquel momento (o que é unha fórmula menos convencional que agora, xa que por entón había poucos líderes investigadores, que xeralmente se atopaban nuns poucos países europeos e se coñecían todos entre eles). Os problemas estudáronse con grande atención; resolver un estableceu reputacións.

O estilo foi polo menos tan influente como o contido dos problemas. Hilbert solicitaba clarificacións. Pediu solucións en principio a preguntas algorítmicas, non a algoritmos prácticos. Pediu un fortalecemento dos alicerces de partes da matemática nas que os non practicantes aínda se antollaban guiadas por intuicións opacas (o cálculo de Schubert e a xeometría enumerativa).

Estas actitudes foron adoptadas por moitos seguidores, aínda que tamén foron discutidas, e continúan a sela. Trinta anos despois, Hilbert endurecera a súa postura.

Resumo

Dos problemas de Hilbert claramente formulados, os problemas 3, 7, 10, 11, 13, 14, 17, 19 e 20 teñen unha solución aceptada por consenso. Por outra banda, os problemas 1, 2, 5, 9, 15, 18*, 21 e 22 teñen solucións de aceptación parcial, pero existe certa controversia ao respecto de se a solución resolve realmente o problema.

O * no 18 indica que a solución á ecuación de Kepler é unha demostración asistida por computadora, unha noción anacrónica para un problema de Hilbert e controvertida ata certo punto debido a que un lector humano non pode verificala en tempo razoable.

Isto deixa sen resolver o 8 (a hipótese de Riemann) e o 12, ambos dentro da teoría dos números. Nesta clasificación os 4, 6 e 16 son demasiado vagos como para que algún día se poidan declarar resoltos. O problema 24 retirado tamén estaría nesta clase.

Información tabulada

Os vinte e tres problemas de Hilbert son os seguintes:

Problema	Explicación	Estado do problema
1.º	A hipótese do continuo (é dicir, non existe conxunto cun tamaño que estea estritamente entre o dos racionais e o dos números reais).	Probouse a imposibilidade de probalo como certo ou falso mediante os axiomas de Zermelo-Fraenkel. Non hai consenso ao respecto de considerar isto como solución ao problema.^[1]
2º	Probar que os axiomas da aritmética son consistentes (é dicir, que a aritmética é un sistema formal que non supón unha contradición).	Parcialmente resolto: hai quen sostén que se demostrou imposible o establecemento nun sistema consistente, finitista e axiomático;^[2] Porén, Gentzen probou en 1936 que a consistencia da aritmética se deriva do bo fundamento do ordinal $\epsilon _{0}$ , un feito suxeito á intuición combinatoria.
3.º	Dados dous poliedros de igual volume, é sempre posible cortar o primeiro nunha cantidade finita de pezas poliédricas que poidan ser ensambladas de modo que quede construído o segundo?	Resolto. Resultado: non, probado empregando invariantes de Dehn.
4º	Construír todas as métricas que teñan rectas xeodésicas.	Demasiado vago para decidir se se resolveu ou non.^[3]
5º	Son os grupos continuos grupos diferenciais de forma automática?	Resolto por Gleason (1952).
6º	Axiomatizar toda a física.	a mecánica clásica: Hamel (1903). a termodinámica: Carathéodory (1909). a relatividade especial: Robb (1914) e Caratheodory (1924) independentemente. a teoría da probabilidade: Kolmogórov (1930). a teoría cuántica de campos: Wightman a finais da década de 1950.
7º	É a^b transcendente, sendo a ≠ 0,1 alxébrico e b irracional alxébrico?	Resolto. Resultado: si, ilustrado polo teorema de Gelfond ou o teorema de Gelfond-Schneider.
8º	A hipótese de Riemann (a parte real de calquera cero non trivial da función zeta de Riemann é ½) e a conxectura de Goldbach (cada número par maior que 2 pode escribirse como a suma de dous números primos).	Sen resolver.^[4]
9º	Atopar a lei máis xeral do teorema de reciprocidade en calquera corpo numérico alxébrico.	Parcialmente resolto.^[5]
10º	Atopar un algoritmo que determine se unha ecuación diofantiana polinómica dada con coeficientes enteiros ten solución enteira.	Resolto. Resultado: non, o teorema de Matiyasevich (1970) implica que non existe ese algoritmo.
11º	Resolver as formas cuadráticas con coeficientes numéricos alxébricos.	Parcialmente resolto: Sobre os números racionais: Hasse (1923-1924). Sobre os números enteiros: Siegel na década de 1930.
12º	Estender o teorema de Kronecker sobre extensións abelianas dos números racionais a calquera corpo numérico de calquera base.	Sen resolver.
13º	Resolver todas as ecuacións de 7º grado empregando funcións de dous parámetros.	Resolto negativamente por Vladimir Arnold e Andrei Kolmogorov en 1957.
14º	Probar a finitude de certos sistemas completos de funcións.	Resolto. Resultado: non, en xeral, debido a un contraexemplo, Nagata (1962).
15º	Fundamento rigoroso do cálculo enumerativo de Schubert.	Parcialmente resolto, Van der Waerden a finais da década de 1930.
16º	Topoloxía das curvas e superficies alxébricas.	Sen resolver.
17º	Expresión dunha función definida racional como cociente de sumas de cadrados.	Resolto. Resultado: estableceuse un límite superior para o número de termos cadrados necesarios, Pfister (1967). A solución negativa en xeral débese a Du Bois (1967).
18º	Existe un poliedro irregular e que constrúa outros poliedros? Cal é o empillamento compacto máis denso?	Resolto.^[6]
19º	Son sempre analíticas as solucións dos lagrangianos?	Resolto por Bernstein (1904). Resultado: si.
20º	Teñen solución todos os problemas de variacións con certas condicións de veciñanza?	Resolto. Supuxo unha área importante de investigación durante o século XX, culminando coas solucións ao caso non linear.
21.^er	Probar a existencia de ecuacións lineares diferenciais que teñan un grupo monodrómico prescrito.	Resolto. Resultado: si ou non, dependendo dunha formulación máis exacta do problema. Segundo Gray resolto de forma negativa por Anosov e Bolibruch (1994).
22º	Uniformización das relacións analíticas por medio de funcións automórficas.	Resolto por Koebe (1907) e Poincaré independentemente (1907).
23.º	Extensión dos métodos do cálculo de variacións.	Sen resolver.

O problema vinte e catro

Orixinariamente Hilbert incluíu 24 problemas na súa listaxe, pero decidiu excluír un deles da publicada. O "problema vixésimo cuarto" (na teoría da demostración, sobre un criterio de simplicidade e métodos xerais) descubriuno no ano 2000 o historiador alemán Rüdiger Thiele, dentro das notas manuscritas orixinais de Hilbert.

Tradución ao galego

En 2019 traduciunos ao galego o profesor da Universidade de Vigo Nicanor Alonso no libro A Lista de Hilbert.^[7]

Notas

↑ Adoita citarse o resultado de independencia de Cohen, mostrando que a hipótese do continuo é independente de ZFC (os axiomas de Zermelo-Fraenkel, estendidos para incluír o axioma da escolla) se cita habitualmente para xustificar que o primeiro problema foi resolto. Un punto de vista contemporáneo é que podería ser o caso de que a teoría de conxuntos debería ter axiomas adicionais, capaces de resolver a situación.
↑ O resultado de Gentzen mostra de forma bastante precisa canto fai falta asumir para probar que os axiomas de Peano son consistentes. Sostense de forma xeral que o teorema da incompletitude de Gödel mostra que non hai demostración finitista de que os AP sexan consistentes (aínda que o propio Gödel rexeitou que fixese esta inferencia.
↑ De acordo a Rowe e Gray, a maioría dos problemas foron resoltos. Algúns non foron definidos completamente, pero progresouse o suficiente neles como para consideralos «resoltos»; Rowe e Gray listan o cuarto problema como demasiado vago para decidir se se resolveu.
↑ O problema 8 contén dous problemas famosos, ambos aínda sen resolver. O primeiro deles, a hipótese de Riemann é un dos sete problemas premiados do milenio, que pretendían ser os "Problemas de Hilbert" do século XXI.
↑ O problema 9 foi resolto no caso abeliano, mediante o desenvolvemento da teoría de corpos de clases; o caso non abeliano segue sen resolverse, se se interpreta iso como teoría de corpos de clases non abelianas.
↑ Rowe e Gray tamén listan o problema 18º como "aberto" no seu libro de 2000, porque o problema do empillamento compacto (tamén coñecido como conxectura de Kepler) estaba sen resolver, pero propúxase unha solución dende entón.
↑ Propín, Ana (12 de febreiro de 2019). "O discurso matemático máis famoso da historia, traducido ao galego". Duvi. Consultado o 15 de febreiro de 2019.

Véxase tamén

Bibliografía

Gray, Jeremy J. (2000). El reto de Hilbert. Crítica. ISBN 84-8432-465-6
Yandell, Benjamin H. (2002). The Honors Class. Hilbert's Problems and Their Solvers. A K Peters. ISBN 1-56881-141-1
On Hilbert and his 24 Problems. En: Proceedings of the Joint Meeting of the CSHPM 13(2002)1-22 (26th Meeting; ed. M. Kinyon)
Nagel, Ernest and Newman, James R., Godel's Proof, New York University Press, 1958.
John Dawson, Jr Logical Dilemmas, The Life and Work of Kurt Gödel, AK Peters, Wellesley, Mass., 1997.
Rebecca Goldstein, Incompleteness: The Proof and Paradox of Kurt Gödel, Atlas Books, W. W. Norton & Co., Nova York, 2005.
Felix E. Browder (editor), Mathematical Developments Arising from Hilbert Problems, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics XXVIII (1976), American Mathematical Society.
Yuri Matiyasévich, Hilbert's Tenth Problem, MIT Press, Cambridge, Massachusetts, 1993.
Torkel Franzén, Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse, AK Peters, Wellesley, Mass., 2005.

Outros artigos

Ligazóns externas

[1] Adoita citarse o resultado de independencia de Cohen, mostrando que a hipótese do continuo é independente de ZFC (os axiomas de Zermelo-Fraenkel, estendidos para incluír o axioma da escolla) se cita habitualmente para xustificar que o primeiro problema foi resolto. Un punto de vista contemporáneo é que podería ser o caso de que a teoría de conxuntos debería ter axiomas adicionais, capaces de resolver a situación.

[2] O resultado de Gentzen mostra de forma bastante precisa canto fai falta asumir para probar que os axiomas de Peano son consistentes. Sostense de forma xeral que o teorema da incompletitude de Gödel mostra que non hai demostración finitista de que os AP sexan consistentes (aínda que o propio Gödel rexeitou que fixese esta inferencia.

[3] De acordo a Rowe e Gray, a maioría dos problemas foron resoltos. Algúns non foron definidos completamente, pero progresouse o suficiente neles como para consideralos «resoltos»; Rowe e Gray listan o cuarto problema como demasiado vago para decidir se se resolveu.

[4] O problema 8 contén dous problemas famosos, ambos aínda sen resolver. O primeiro deles, a hipótese de Riemann é un dos sete problemas premiados do milenio, que pretendían ser os "Problemas de Hilbert" do século XXI.

[5] O problema 9 foi resolto no caso abeliano, mediante o desenvolvemento da teoría de corpos de clases; o caso non abeliano segue sen resolverse, se se interpreta iso como teoría de corpos de clases non abelianas.

[6] Rowe e Gray tamén listan o problema 18º como "aberto" no seu libro de 2000, porque o problema do empillamento compacto (tamén coñecido como conxectura de Kepler) estaba sen resolver, pero propúxase unha solución dende entón.

[7] Propín, Ana (12 de febreiro de 2019). "O discurso matemático máis famoso da historia, traducido ao galego". Duvi. Consultado o 15 de febreiro de 2019.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]