Sztrofoid

Sztrofoid

A sztrofoid (a görög στροφή – hurokból) harmadrendű algebrai görbe. Szerkesztése az ábra jelöléseivel: Egy x,y derékszögű koordináta-rendszerben vegyünk fel a negatív x-tengelyen agy tetszőleges X pontot. Az X pontból húzzunk egy egy (zöld) egyenest, mely az y-tengelyt Y pontban metszi. Az OY távolságot mérjük rá a zöld egyenesre az Y ponttól két irányban, ezzel kijelöljük a P és Q pontot, melyekre igaz: PY=YP=OY. A P és Q pontok mértani helye a sztrofoid görbe.

Egyenlete

Egyenlete derékszögű koordináta-rendszerben:

$x^{2}\left(a+x\right)+y^{2}\left(x-a\right)=0,\ \ a>0\,$,

ahol a a csúcspont és az origó távolsága, vagy más alakban:

$y=\pm x{\sqrt {\frac {a+x}{a-x}}}\,\!$.

Paraméteres egyenlete:

${\begin{cases}x=a\left({\frac {u^{2}-1}{u^{2}+1}}\right)\\y=au\left({\frac {u^{2}-1}{u^{2}+1}}\right)\\\end{cases}}$,

ahol

$u=\operatorname {tg} \varphi \,\!$.

Polárkoordinátákkal:

$\rho =-{\frac {a\cos 2\varphi }{\cos \varphi }}\,\!$.

Tulajdonságai

A koordináta-rendszer kezdőpontja, az (O pont), a görbe szinguláris pontja, ahol a görbe érintői az x=y és x=-y egyenesek. Az x=a egyenes a görbe aszimptotája. A görbe csúcspontja a (-a,0) pont. A hurok területe:

$T_{1}=2a^{2}-\pi {\frac {a^{2}}{2}}$,

a görbe és az aszimptota közötti terület:

$T_{2}=T_{1}=2a^{2}-\pi {\frac {a^{2}}{2}}$.

Története

A sztrofoidot először Gilles de Roberval tanulmányozta 1645-ben. Ő ezt a görbét pteroidnak (görögül πτερον=szárny) nevezte. A sztrofoid nevet 1849-ben kapta.

Források

• J. N. Bronstein - K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1987. ISBN 963-10-5309-1
• Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 1. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.