Գլան

Անվան այլ կիրառումների համար տե՛ս՝ Գլան (այլ կիրառումներ)

Գլան, պտտական մարմին, որը ստացվում է, եթե ուղղանկյունը պտտենք նրա կողմերից մեկի (այդ կողմը պարունակող ուղղի) շուրջը։

Ծանոթություն

Մենք ուսումնասիրելու ենք միայն «ուղիղ շրջանային գլանը»։ Նրա մակերևույթը կազմված է երկու հիմքերից և կողմնային մակերևույթից։ Ուղիղ շրջանային գլանի հիմքերը երկու հավասար շրջաններ են, որոնք տեղադրված են զուգահեռ հարթություններում այնպես, որ նրանց կենտրոններով անցնող ուղիղը ուղղահայաց է այդ հարթություններին։ Այդ ուղիղը կոչվում է գլանի առանցք։ Գլանի կողմնային մակերևույթը կազմում են նրա հիմքերին ուղղահայաց բոլոր այն հատվածները, որոնց ծայրերը պատկանում են հիմքերի շրջանագծերին։ Այդ հատվածները կոչվում են գլանի ծնորդներ, իսկ հիմքերի կենտրոնները միացնող հատվածը՝ գլանի բարձրություն։ Դրանք իրար հավասար հատվածներ են։ Ծնորդի երկարությունը հավասար է բարձրությանը։ Եթե գլանի կողմնային մակերևույթը կտրենք ծնորդով, նրա փռվածքը կլինի ուղղանկյուն, որի կողմերից մեկը հավասար է գլանի ծնորդին, իսկ մյուսը՝ գլանի հիմքի շրջանագծի երկարությանը։ Ուստի եթե h–ով նշանակենք գլանի բարձրությունը, իսկ r–ով՝ հիմքի շառավիղը, ապա գլանի կողմնային մակերևույթի մակերեսը՝

S=2πrh

իսկ լրիվ մակերևույթի մակերեսը՝

S=2πrh+2πr^2\,։

Գլանի հատույթները տարբեր հարթություններով

Հատկություն 1

Եթե հատող հարթությունն ուղղահայաց է գլանի առանցքին, ապա այն գլանի կողմնային մակերևույթը հատում է մի շրջանագծով, որը հավասար է գլանի հիմքի շրջանագծին։

Ապացույց

Այս փաստը անմիջապես բխում է տարածության մեջ զուգահեռ տեղափոխության այն հատկությունից, ըստ որի ցանկացած հարթություն անցնում է իրեն զուգահեռ հարթության կամ ինքն իրեն։ Դիցուք ß_ն գլանը հատող և նրա հիմքին զուգահեռ հարթությունն է։ Գլանի առանցքի ուղղությամբ զուգահեռ տեղափոխությունը, որը համատեղում է ß հարթությունը գլանի հիմքի հարթության հետ, համատեղում է կողմնային մակերևույթի հատույթը հիմքի շրջանագծի հետ։

Հատկություն 2

Գլանի առանցքին զուգահեռ հարթությունը գլանը հատում է ուղղանկյունով (ենթադրվում է, որ այդ հարթության հեռավորությունը գլանի առանցքից փոքր է R–ից)։

Ապացույց

Դիցուք $MN$ –ը գլանի $OO_{1}$ առանցքին զուգահեռ a հարթության և գլանի հիմքի հատման գիծն է։ $M$ և $N$ կետերով տանելով գլանի $MM_{1}$ և $NN_{1}$ ծնորդները՝ կստանանք $MM_{1}N_{1}N$ ուղղանկյունը, որի հարթությունը զուգահեռ է $OO_{1}$ –ին, որովհետև $MM_{1}$ || $OO_{1}$ ։ Քանի որ $MN$ և $OO_{1}$ խաչվող ուղիղներից մեկով( $MN$ –ով) անցնում է մյուսին զուգահեռ միայն մեկ հարթություն, ապա $MM_{1}N_{1}N$ հարթությունը համընկնում է a հարթության հետ։

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից (հ․ 3, էջ 92)։