Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Գիյոմ Ֆրանսուա Լոպիտալ (1661-1704)Լոպիտալի թեորեմ
(նաև Լոպիտալ-Բեռնուլլի կանոն [ 1] ֆունկցիաների սահմանները , որոնք պարունակում են
0
/
0
{\displaystyle 0/0}
∞
/
∞
{\displaystyle \infty /\infty }
անորոշություններ ։ Թեորեմը պնդում է, որ որոշ պայմանների դեպքում ֆունկցիայում հարաբերության սահմանը հավասար է անդամների ածանցյալների հարաբերության սահմանին։
Եթե
f
(
x
)
,
g
(
x
)
{\displaystyle f(x),\,g(x)}
U
{\displaystyle U}
a
{\displaystyle a}
a
{\displaystyle a}
+
∞
,
−
∞
,
∞
{\displaystyle +\infty ,-\infty ,\infty }
lim
x
→
a
f
(
x
)
=
lim
x
→
a
g
(
x
)
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to a}{f(x)}=\lim _{x\to a}{g(x)}=0}
∞
{\displaystyle \infty }
g
′
(
x
)
≠
0
{\displaystyle g'(x)\neq 0}
U
{\displaystyle U}
գոյություն ունի
lim
x
→
a
f
′
(
x
)
g
′
(
x
)
{\displaystyle \lim \limits _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}
ապա գոյություն ունի
lim
x
→
a
f
(
x
)
g
(
x
)
=
lim
x
→
a
f
′
(
x
)
g
′
(
x
)
{\displaystyle \lim \limits _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim \limits _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}
Նման անորոշությունների բացահայտման մեթոդը հրապարակվել է 1696 թվականին Գիյոմ Լոպիտալի հեղինակած «Analyse des Infiniment Petits» դասագրքում։ Իսկ մեթոդը առաջին անգամ հայտնաբերել է մաթեմատիկոս Իոհանն Բեռնուլլին [ 2]
lim
x
→
0
x
2
+
5
x
3
x
=
lim
x
→
0
2
x
+
5
3
=
5
3
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {x^{2}+5x}{3x}}=\lim _{x\to 0}{\frac {2x+5}{3}}={\frac {5}{3}}}
lim
x
→
∞
x
3
+
4
x
2
+
7
x
+
9
x
3
+
3
x
2
=
lim
x
→
∞
3
x
2
+
8
x
+
7
3
x
2
+
6
x
=
lim
x
→
∞
6
x
+
8
6
x
+
6
=
6
6
=
1
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {x^{3}+4x^{2}+7x+9}{x^{3}+3x^{2}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {3x^{2}+8x+7}{3x^{2}+6x}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {6x+8}{6x+6}}={\frac {6}{6}}=1}
x
{\displaystyle x}
x
3
{\displaystyle x^{3}}
lim
x
→
∞
1
+
4
/
x
+
7
/
x
2
+
9
/
x
3
1
+
3
/
x
=
1
1
=
1
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {1+4/x+7/x^{2}+9/x^{3}}{1+3/x}}={\frac {1}{1}}=1}
lim
x
→
+
∞
e
x
x
a
=
lim
x
→
+
∞
e
x
a
⋅
x
a
−
1
=
…
=
lim
x
→
+
∞
e
x
a
!
=
+
∞
{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {e^{x}}{x^{a}}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {e^{x}}{a\cdot x^{a-1}}}=\ldots =\lim _{x\to +\infty }{\frac {e^{x}}{a!}}=+\infty }
a
{\displaystyle a}
lim
x
→
+
∞
x
a
ln
x
=
lim
x
→
+
∞
a
x
a
−
1
1
x
=
a
⋅
lim
x
→
+
∞
x
a
=
+
∞
{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {x^{a}}{\ln {x}}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {ax^{a-1}}{\frac {1}{x}}}=a\cdot \lim _{x\to +\infty }{x^{a}}=+\infty }
a
>
0
{\displaystyle a>0}
lim
x
→
+
∞
∫
x
+
∞
e
−
t
2
d
t
x
−
1
e
−
x
2
=
lim
x
→
+
∞
−
e
−
x
2
−
x
−
2
e
−
x
2
(
1
+
2
x
2
)
=
lim
x
→
+
∞
x
2
1
+
2
x
2
=
1
2
{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {\int \limits _{x}^{+\infty }e^{-t^{2}}dt}{x^{-1}e^{-x^{2}}}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {-e^{-x^{2}}}{-x^{-2}e^{-x^{2}}(1+2x^{2})}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {x^{2}}{1+2x^{2}}}={\frac {1}{2}}}
Ենթադրենք
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
a
{\displaystyle a}
lim
x
→
a
f
′
(
x
)
=
A
{\displaystyle \lim _{x\to a}f'(x)=A}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
a
{\displaystyle a}
f
′
(
a
)
=
A
{\displaystyle f'(a)=A}
f
′
(
x
)
{\displaystyle f'(x)}
a
{\displaystyle a}
f
(
x
)
−
f
(
a
)
x
−
a
{\displaystyle {\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}}
Լոպիտալի կանոնի անալոգն է հանդիսանում Շտոլցի թեորեման ։
↑ «Արխիվացված պատճենը» (PDF) . Արխիվացված է օրիգինալից (PDF) 2009 թ․ փետրվարի 6-ին. Վերցված է 2020 թ․ հունիսի 28-ին .↑ Paul J. Nahin, An Imaginary Tale: The Story of
−
1
{\displaystyle {\sqrt {-1}}}