Endomorfismo

In matematica, un endomorfismo di una struttura algebrica è una funzione dall'insieme sostegno della struttura in sé, che preservi le operazioni. In altre parole, è un morfismo della struttura algebrica in sé stessa.

Definizione

Sia $X$ un insieme o una struttura. Si definisce endomorfismo una funzione $T$ tale che:

T\colon X\to X.

L'endomorfismo si può quindi attuare su un insieme generico; in varie applicazioni risulta importante considerare gli endomorfismi basati su spazi vettoriali.

Si indica invece con $\mathrm {End} (X)$ l'insieme degli endomorfismi di $X.$

Operazioni binarie

Se un insieme $X$ è dotato di un'operazione binaria $*$ , che associa a due elementi $x$ e $y$ un altro elemento $x*y$ di $X,$ un endomorfismo di $X$ è una funzione $f\colon X\to X$ tale che

f(x*y)=f(x)*f(y),

per ogni $x$ e $y$ in $X.$ L'esempio più importante di insieme dotato di operazione binaria è il gruppo.

Ad esempio, la funzione $f(x)=2x$ dal gruppo dei numeri interi in sé è un endomorfismo rispetto all'operazione di somma. La funzione $f(x)=x+1$ invece no.

Spazi vettoriali

Se $V$ è uno spazio vettoriale, un endomorfismo di $V$ è un'applicazione lineare $T$ da $V$ in sé stesso $T\colon V\to V.$

Data la precedente definizione relativa agli spazi vettoriali, è interessante chiedersi, essendo l'immagine dell'endomorfismo un sottoinsieme di $V,$ se esistono in $X$ dei sottospazi $U$ di dimensione 1 che sono lasciati invariati per l'azione dell'endomorfismo. Ci si chiede cioè se esistono degli insiemi $U$ tali che $T(U)\subseteq U$ . La ricerca di questi sottospazi è riconducibile alla ricerca di particolari vettori, detti autovettori di $T$ ^[1].

Proprietà

Un endomorfismo che è anche biiettivo è un automorfismo.
La funzione identità normalmente è un endomorfismo.
La composizione di due endomorfismi è un endomorfismo, e quindi la composizione definisce un'operazione binaria su $\mathrm {End} (X).$
Definiamo determinante di un endomorfismo $f$ su uno spazio vettoriale di dimensione finita: $\det[f]_{B}^{B}$ , ossia il determinante della matrice associata. Esso non dipende dalla base $B.$
Definiamo traccia di un endomorfismo $f$ su uno spazio vettoriale di dimensione finita: $\mathrm {tr} [f]_{B}^{B}$ , ossia la traccia della matrice associata. Essa non dipende dalla base $B.$