Lemma di Yoneda

In matematica, il lemma di Yoneda è un risultato fondamentale nella teoria delle categorie. Nella sua forma più debole afferma che ogni categoria può essere considerata come una sottocategoria dei funtori contravarianti da essa alla categoria degli insiemi.^[1]

Definizioni

Sia ${\mathcal {C}}$ una categoria, e sia $\mathbf {Set}$ la categoria degli insiemi. La categoria di prefasci su ${\mathcal {C}}$ a valori in $\mathbf {Set}$ è la categoria $\mathrm {Hom} ({\mathcal {C}}^{op},\mathbf {Set} )$ di funtori contravarianti da ${\mathcal {C}}$ agli insiemi. Dati due funtori $F,G\in \mathrm {Hom} ({\mathcal {C}}^{op},\mathbf {Set} )$ l'insieme di morfismi da $F$ a $G$ è l'insieme $\mathrm {Nat} (F,G)$ di trasformazioni naturali da $F$ a $G$ .

Fissato un oggetto $A\in {\mathcal {C}}$ , di particolare rilievo è il funtore

h_{A}\colon {\mathcal {C}}^{op}\to \mathbf {Set}

che mappa un oggetto $X\in {\mathcal {C}}$ all'insieme $\mathrm {Hom} (X,A)$ . Per ogni morfismo $f\colon X\to Y\in {\mathcal {C}}$ il funtore $h_{A}$ associa un morfismo $h\colon X\to A$ al morfismo $g\colon Y\to A$ dato da $h=g\circ f$ .

Enunciato

Il lemma di Yoneda asserisce il fatto seguente:

Vi è una corrispondenza biunivoca $\mathrm {Nat} (h_{A},F)\cong F(A)$ .

Un caso particolare è quello dove $F=h_{Y}$ ; in tal caso, il lemma di Yoneda afferma che la categoria ${\mathcal {C}}$ è una sottocategoria di $\mathrm {Hom} ({\mathcal {C}}^{op},\mathbf {Set} )$ tramite il funtore $h:{\mathcal {C}}\to \mathrm {Hom} ({\mathcal {C}}^{op},\mathbf {Set} )$ .