Limite di una successione

In matematica, il limite di una successione è il valore a cui tendono i termini di una successione. In particolare, se tale limite esiste finito, la successione si dice convergente. Si tratta di un concetto fondamentale per la costruzione rigorosa dell'analisi matematica.

Tramite la nozione di limite viene formalizzata rigorosamente l'idea intuitiva di "punto variabile che si avvicina arbitrariamente a un punto dato". Tale "punto mobile" potrebbe "muoversi" nell'insieme dei numeri razionali, sulla retta reale, sul piano o anche (via via generalizzando) in uno spazio euclideo, in uno spazio metrico o in uno spazio topologico.

L'esempio più semplice è dato dalla successione dei reciproci degli interi positivi $1/n$ :

1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{5}},\ldots

successione che si può descrivere meccanicamente come un numero variabile che si avvicina sempre di più allo zero.

La nozione di limite di una successione può essere generalizzata a quella di limite di una funzione. Infatti una successione è una funzione avente come dominio l'insieme dei numeri naturali.

Definizioni

Limite nella retta reale

Un numero reale $l$ è il limite di una successione di numeri reali $\{a_{n}\}$ se la distanza fra i numeri $a_{n}$ ed $l$ , data dal valore assoluto $|a_{n}-l|$ , è arbitrariamente piccola quando $n$ è sufficientemente grande.

In altre parole, $l$ è il limite della successione se $\forall \varepsilon >0\;\exists N\in \mathbb {N} :|a_{n}-l|<\varepsilon \;\forall n>N$ e in tal caso si scrive:^[1]

\lim _{n\to +\infty }a_{n}=l

e si dice che la successione converge a $l$ .

Se $l=0$ , la successione è detta infinitesima. Questa definizione chiarisce il fatto che l'espressione "infinitesima" non è appropriata per una grandezza ben determinata (anche se molto piccola), ma ha senso solo in riferimento a una grandezza variabile.

La definizione di limite può essere estesa al caso $l=+\infty$ e $l=-\infty$ nel modo seguente. La successione $\{a_{n}\}$ ha limite $+\infty$ se raggiunge e mantiene valori arbitrariamente alti, cioè se per ogni $M>0$ esiste un numero naturale $N$ tale che $a_{n}>M$ per ogni $n>N$ .

Analogamente, la successione ha limite $-\infty$ se $a_{n}<-M$ per ogni $n>N$ . In entrambi i casi si dice che la successione è divergente.

Per il teorema di unicità del limite il limite di una successione (che sia finito o infinito) se esiste è unico.

Limite in spazi metrici

In uno spazio metrico $(X,d)$ , dove $d$ è la funzione distanza, un punto $x$ di $X$ è il limite di una successione $\{x_{n}\}_{n}$ se:

\forall \varepsilon >0\;\exists N|\forall n>N\;\;d(x_{n},x)<\varepsilon

Questa definizione coincide in $\mathbb {R}$ con quella descritta sopra, se $\mathbb {R}$ è considerato con la usuale metrica euclidea, definita da $d(a,b)=|a-b|$ .

Limite in spazi topologici

In uno spazio topologico $(X,{\mathcal {T}})$ , un punto $x$ è limite di una successione $\{x_{n}\}_{n}$ se:

\forall V\in {\mathcal {T}}|x\in V\;\exists N:\forall n>N\;x_{n}\in V

Proprietà di base

Limitatezza

Per il teorema di limitatezza, una successione $\{a_{n}\}$ convergente ad un limite finito $l$ è limitata, ovvero esiste un $K$ tale che $|a_{n}|<K$ per ogni $n$ .

D'altra parte, una successione limitata non è necessariamente convergente: si veda ad esempio la successione $a_{n}=(-1)^{n}$ .

Una successione divergente (cioè con limite $\pm \infty$ ) può essere limitata o solo inferiormente o solo superiormente. D'altro canto, esistono però successioni non limitate che non sono divergenti. Ad esempio, la successione $a_{n}=(-1)^{n}n$ data da:

-1,2,-3,4,-5,\ldots

oppure la successione:

1,0,2,0,3,0,4,0,5,0,6,0,\ldots

In entrambi i casi, le successioni non hanno limite e quindi non sono divergenti.

Permanenza del segno

Per il teorema della permanenza del segno, se una successione $\{a_{n}\}$ converge ad un limite strettamente positivo $l>0$ (che può essere anche $+\infty$ ), questa ha definitivamente soltanto termini positivi. In altre parole, esiste un $N$ tale che $a_{n}>0$ per ogni $n>N$ .

Analogamente, una successione che converge ad un limite strettamente negativo ha definitivamente soltanto termini negativi. Una successione che converge a zero può avere infiniti termini di ambo i segni, ad esempio $a_{n}=(-1)^{n}/n$ :

-1,{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},-{\frac {1}{5}},{\frac {1}{6}},\ldots

D'altro canto, non è vero in generale che una successione $\{a_{n}\}$ di termini positivi $a_{n}>0$ convergente debba avere un limite strettamente positivo $l>0$ : ad esempio, la successione $a_{n}=1/n$ è fatta di termini positivi, ma converge a zero.

È però vero che una tale successione debba avere un limite $l\geq 0$ : se infatti avesse un limite negativo $l<0$ , per la permanenza del segno appena descritta dovrebbe avere infiniti termini negativi.

Valori assoluti

Se una successione $\{a_{n}\}$ converge ad un limite (finito o infinito) $l$ , la successione dei valori assoluti $\{|a_{n}|\}$ converge al valore assoluto del limite $|l|$ .

Non è vero l'enunciato opposto: esistono successioni non convergenti, i cui valori assoluti però convergono. Ad esempio, la successione $a_{n}=(-1)^{n}$ .

Successione monotona

Per il teorema di esistenza del limite di successioni monotone, una successione monotona $\{a_{n}\}$ converge sempre ad un limite (che può essere infinito). Il limite è dato dall'estremo superiore (se è monotona crescente) o inferiore (se è decrescente) dei valori della successione. In altre parole, nel caso crescente:

\lim _{n\to \infty }a_{n}=\sup _{n}\{a_{n}\}

Tale limite è finito quindi se e solo se la successione è limitata.

Il fatto che $a_{n}$ sia monotona e converga ad un limite $l$ è spesso espresso con una freccia:

a_{n}\uparrow l

oppure:

a_{n}\downarrow l

Manipolazioni di successioni

Sottosuccessioni

Una sottosuccessione di una successione $\{a_{n}\}$ è ottenuta prendendo un sottoinsieme infinito di questa, e si indica con $\{a_{n_{k}}\}$ . Vale la proprietà seguente: una successione è convergente se e solo se ogni sua sottosuccessione è convergente.

Somma e prodotto di successioni

Se $\{a_{n}\}$ e $\{b_{n}\}$ sono successioni convergenti, con:

\lim _{n\to +\infty }a_{n}=a\qquad \lim _{n\to +\infty }b_{n}=b

limiti finiti, allora:

\lim _{n\to +\infty }(c\cdot a_{n})=c\cdot a\qquad \forall c\in \mathbb {R}

\lim _{n\to +\infty }(a_{n}\pm b_{n})=a\pm b

\lim _{n\to +\infty }(a_{n}\cdot b_{n})=a\cdot b

\lim _{n\to +\infty }{a_{n} \over b_{n}}={a \over b}\qquad {\mbox{se }}b_{n}\neq 0\ \forall n,\ b\neq 0

Queste proprietà sono valide in alcuni casi anche per limiti $a,b$ infiniti, purché l'operazione richiesta non sia una forma indeterminata. Ad esempio:

a+\infty =+\infty \qquad a-\infty =-\infty \qquad +\infty +\infty =+\infty \qquad -\infty -\infty =-\infty

e se $a\neq 0$ , anche:

a\cdot \infty =\infty \qquad {a \over 0}=\infty \qquad {a \over \infty }=0

con i segni opportuni calcolati con la usuale regola del prodotto.

Confronto fra successioni

Un metodo classico per ottenere informazioni sulla convergenza di una successione consiste nel confrontare questa con un'altra, il cui comportamento è già noto.

Confronto fra due successioni

Se due successioni $a_{n}$ e $b_{n}$ convergono ai limiti $a$ e $b$ , e se $a_{n}\geq b_{n}$ per ogni $n$ , allora $a\geq b$ .

Per mostrare questo fatto, basta prendere la successione $a_{n}-b_{n}$ , che è fatta di termini maggiori o uguali a zero, e per le proprietà dei limiti rispetto alle operazioni converge a $a-b$ : quindi per il teorema della permanenza del segno $a-b\geq 0$ , ovvero $a\geq b$ .

Teorema del confronto

Il teorema del confronto per le successioni asserisce che una successione "stretta fra due successioni" convergenti allo stesso limite converge anch'essa a questo limite. Formalmente, se $\{a_{n}\},\{b_{n}\}$ e $\{c_{n}\}$ sono tre successioni tali che:

a_{n}\leq b_{n}\leq c_{n}

per ogni $n$ , e se:

\lim _{n\to +\infty }a_{n}=\lim _{n\to +\infty }c_{n}=l

allora anche:

\lim _{n\to +\infty }b_{n}=l

Ad esempio, la successione:

b_{n}={\cos n \over n}

è "stretta" fra le successioni $a_{n}=-1/n$ e $c_{n}=1/n$ , poiché:

-1\leq \cos n\leq 1

per ogni $n$ . Poiché entrambe $a_{n}$ e $c_{n}$ sono infinitesime (convergono cioè a zero), anche $b_{n}$ è infinitesima.

Criterio di convergenza di Cauchy

Una successione di Cauchy è una successione $\{a_{n}\}$ , i cui valori "si avvicinano sempre di più" fra loro. Formalmente, per ogni $\varepsilon >0$ esiste $N$ tale che:

|a_{n}-a_{m}|<\varepsilon \qquad \forall n,m>N

Per il criterio di convergenza di Cauchy, una successione di numeri reali è convergente se e solo se è di Cauchy.

La proprietà essenziale dei numeri reali che rende possibile questo fatto è la completezza. Infatti il criterio non vale per i numeri razionali, che non sono completi: una successione di numeri razionali di Cauchy non è necessariamente convergente ad un numero razionale (ma lo è ad un numero reale). Ad esempio:

a_{n}=\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}

è una successione di Cauchy di numeri razionali convergenti al numero irrazionale $e$ di Nepero.

Criterio di convergenza di Stolz-Cesàro

Se si considerano due successioni a valori reali di cui una $b_{n}$ è positiva, strettamente crescente, illimitata, ed esiste il seguente limite:

\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=l

allora esiste anche il limite:

\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=l

Confronti tra infiniti e infinitesimi

Esempi

La successione $a_{n}=1/(n^{2})$ converge a 0:

1,\,{\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{9}},\,{\frac {1}{16}},\,\ldots

La successione:

a_{n}=\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}

è convergente. Il suo limite è il numero di Nepero

e=2.71828\ldots

La successione a segni alterni $a_{n}=(-1)^{n}$ non è convergente:

+1,-1,+1,-1,\ldots

La successione $a_{n}=n$ è divergente positivamente (tende a $+\infty$ ):

1,2,3,4,\ldots ,

Note

^ È usata anche la scrittura abbreviata $\lim _{n}a_{n}$ , che comunque non crea ambiguità o confusione in quanto nei numeri naturali l'unico punto di accumulazione è infinito e quindi l'unico limite che si può calcolare di una successione è proprio ad infinito, al contrario delle funzioni di variabile reale

Bibliografia

Paolo Marcellini e Carlo Sbordone, Elementi di Analisi Matematica Uno. Versione semplificata per i nuovi corsi di laurea, Napoli, Liguori Editore, 2016, ISBN 978-88-20-73383-4.
(EN) Richard Courant, Differential and Integral Calculus Volume I, Glasgow, Blackie & Son, Ltd., 1961, ISBN 978-04-71-60842-4..
(EN) Frank Morley e James Harkness, A treatise on the theory of functions, New York-Londra, Macmillan, 1893. A treatise on the theory of functions

Voci correlate

Altri progetti

Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su limite di una successione

Collegamenti esterni

(EN) L.D. Kudryavtsev, Limit, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
(EN) A history of the calculus, including limits, su www-gap.dcs.st-and.ac.uk. URL consultato il 2 maggio 2014 (archiviato dall'url originale il 5 settembre 2004).

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica

[1] È usata anche la scrittura abbreviata $\lim _{n}a_{n}$ , che comunque non crea ambiguità o confusione in quanto nei numeri naturali l'unico punto di accumulazione è infinito e quindi l'unico limite che si può calcolare di una successione è proprio ad infinito, al contrario delle funzioni di variabile reale

[1]

V · D · M Analisi matematica
Calcolo infinitesimale	Numero reale · Infinitesimo · O-grande · Successione (di funzioni) · Successione di Cauchy · Teorema di Bolzano-Weierstrass · Stima asintotica · Limite (di una funzione · di una successione · Forma indeterminata) · Teorema dei due carabinieri · Limite notevole · Punto di accumulazione · Punto isolato · Intorno · Serie (di funzioni) · Criteri di convergenza · Limite di funzioni a più variabili	Analisi matematica
Studio della continuità	Funzione continua · Punto di discontinuità · Continuità uniforme · Funzione lipschitziana · Teorema di Bolzano · Teorema di Weierstrass · Teorema dei valori intermedi · Teorema di Heine-Cantor · Modulo di continuità · Funzione semicontinua · Continuità separata · Teorema di approssimazione di Weierstrass
Calcolo differenziale	Derivata · Differenziale · Regole di derivazione · Teorema di Fermat · Teorema di Rolle · Teorema di Lagrange · Teorema di Cauchy · Teorema di Darboux · Teorema di Taylor · Serie di Taylor · Funzione differenziabile · Gradiente · Jacobiana · Hessiana · Forma differenziale · Generalizzazioni della derivata · Derivata parziale · Derivata mista
Integrale	Primitiva · Integrale di Riemann · Integrale improprio · Integrale di Lebesgue · Teorema fondamentale · Metodi di integrazione · Tavole · Integrale multiplo, di linea (1ª specie · 2ª specie) e di superficie (di volume)
Studio di funzione	Funzione · Variabile · Dominio e codominio · Funzioni pari e dispari · Funzione periodica · Funzione monotona · Funzione convessa · Massimo e minimo di una funzione · Punto angoloso · Cuspide · Punto di flesso · Asintoto · Grafico di una funzione · Funzione iniettiva
Disuguaglianze	Disuguaglianza triangolare · Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Altro	Approssimazione di Stirling · Prodotto di Wallis · Funzione Gamma · Teorema delle funzioni implicite · Teorema della funzione inversa · Funzione hölderiana · Spazio metrico · Spazio normato · Intervallo · Insieme trascurabile · Insieme chiuso · Insieme aperto · Palla · Omeomorfismo · Omeomorfismo locale · Diffeomorfismo · Diffeomorfismo locale · Classe C di una funzione · Equazione differenziale · Problema di Cauchy