Minore (algebra lineare)

In matematica, in particolare in algebra lineare, un minore di una matrice $A$ è il determinante di una matrice quadrata ottenibile da $A$ eliminando alcune righe e/o colonne di $A$.

I minori sono uno strumento utile per calcolare il rango di una matrice, e quindi per risolvere i sistemi lineari.

Definizione

Una sottomatrice di una matrice $A_{n\times m}$, con $n$ e $m$ interi non negativi, è una matrice $B_{r\times s}$, con $r$ e $s$ interi tali che $0\leq r\leq n$ e $0\leq s\leq m$, ottenuta da $A$ rimuovendo $n-r$ righe e $m-s$ colonne.

Un minore è il determinante di una sottomatrice (quadrata, cioè con $r=s$). Il numero $r$ è definito ordine del minore.

Un minore complementare è un minore di $A$ ottenuto togliendo una sola riga e una sola colonna da $A$. Si nota subito che i minori complementari sono definiti solo per matrici $A$ quadrate, altrimenti la matrice risultante non sarebbe più quadrata e non se ne potrebbe calcolare il determinante. Il minore complementare rispetto all'elemento $a_{ij}$ di una matrice quadrata $A$ si ottiene togliendo l'$i$-esima riga e la $j$-esima colonna e si indica con $A(i,j)$ o con $A_{ij}$. Se il minore complementare $A(i,j)$ viene considerato con il segno $(-1)^{i+j}$ esso è detto complemento algebrico o cofattore di $a_{ij}$.

Talvolta con "minore" si intende "sottomatrice quadrata", ma questo uso è meno comune e alcuni risultati potrebbero dover essere enunciati in modo differente. Qui e nel seguito si userà la definizione di minore come determinante.

Sia $A$ una matrice $m\times n$ e siano $I$ un sottoinsieme di $\{1,\dots ,m\}$ con $k$ elementi e $J$ un sottoinsieme di $\{1,\dots ,n\}$ con $k$ elementi. Indicando con $[A]_{I,J}$ il minore $k\times k$ di $A$ che corrisponde alle righe con indice in $I$ e colonne con indice in $J$:

• Se $I=J$ allora $[A]_{I,J}$ è detto minore principale (o dominante).
• Se si prendono ordinatamente le prime $r$ righe e $r$ colonne allora il minore principale è detto minore principale di guida (o minore principale di testa o minore nord-ovest). Un minore principale di guida, quindi, è un minore ottenuto togliendo le ultime $n-r$ righe e colonne. Per una matrice quadrata $n\times n$ vi sono $n$ minori principali di guida.
• Per una matrice hermitiana i minori principali di guida possono essere usati per verificare se la matrice è una matrice definita positiva; si veda ad esempio il criterio di Sylvester.

Proprietà

Il rango di una matrice $A_{m\times n}$ è uguale al massimo ordine di un minore non nullo di $A_{m\times n}$. Questo risultato fornisce uno strumento frequentemente utilizzato nel calcolo del rango di una matrice, ma non è molto efficiente per matrici con elevato numero di righe e/o colonne.

La matrice dei cofattori è un'importante matrice associata ad una matrice quadrata ed è definita a partire dai suoi minori complementari.

Data una matrice ad elementi reali $m\times n$ e rango $r$, allora esiste almeno un minore di ordine $r$ non nullo e tutti i minori di ordine maggiore sono nulli.

Esempio

Si consideri la matrice $A_{3\times 4}$:

$A_{3\times 4}={\begin{bmatrix}2&-1&5&9\\-12&3&2&0\\1&-1&9&8\end{bmatrix}}$

Allora alcune delle sue sottomatrici sono:

$B_{1\times 1}={\begin{bmatrix}-12\end{bmatrix}}$

$C_{2\times 3}={\begin{bmatrix}2&-1&9\\-12&3&0\end{bmatrix}}$

$D_{3\times 2}={\begin{bmatrix}-1&9\\3&0\\-1&8\end{bmatrix}}$

$E_{3\times 1}={\begin{bmatrix}5\\2\\9\end{bmatrix}}$

$F_{1\times 4}={\begin{bmatrix}-12&3&2&0\end{bmatrix}}$

I minori di ordine $r=3$ sono:

$\det {\begin{bmatrix}2&-1&5\\-12&3&2\\1&-1&9\end{bmatrix}}=-7\quad ,\quad \det {\begin{bmatrix}2&-1&9\\-12&3&0\\1&-1&8\end{bmatrix}}=33\quad ,\quad \det {\begin{bmatrix}2&5&9\\-12&2&0\\1&9&8\end{bmatrix}}=-478\quad ,\quad \det {\begin{bmatrix}-1&5&9\\3&2&0\\-1&9&8\end{bmatrix}}=125$

Alcuni dei minori di ordine $r=2$ sono:

$\det {\begin{bmatrix}2&-1\\-12&3\end{bmatrix}}=-6\quad ,\quad \det {\begin{bmatrix}2&5\\-12&2\end{bmatrix}}=64\quad ,\quad \det {\begin{bmatrix}-12&3\\1&-1\end{bmatrix}}=9\quad ,\quad \det {\begin{bmatrix}3&0\\-1&8\end{bmatrix}}=24\dots$

Infine i minori di ordine $r=1$:

$\det {\begin{bmatrix}2\end{bmatrix}}=2\quad ,\quad \det {\begin{bmatrix}-1\end{bmatrix}}=-1\quad ,\quad \det {\begin{bmatrix}5\end{bmatrix}}=5\quad ,\quad \det {\begin{bmatrix}9\end{bmatrix}}=9\quad ,\quad \det {\begin{bmatrix}-12\end{bmatrix}}=-12\quad ,\quad \det {\begin{bmatrix}3\end{bmatrix}}=3\quad ,\quad \det {\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}}=0\quad ,\quad \det {\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}=1\quad ,\quad \det {\begin{bmatrix}8\end{bmatrix}}=8$

Bibliografia

• (EN) Bertha Jeffreys, Methods of Mathematical Physics, p. 135, Cambridge University Press, 1999 ISBN 0-521-66402-0
• (EN) Burnside, William Snow & Panton, Arthur William (1886) Theory of Equations: with an Introduction to the Theory of Binary Algebraic Form.
• (EN) Felix Gantmacher, Theory of matrices (1st ed., original language is Russian), Moscow: State Publishing House of technical and theoretical literature, 1953, p. 491

Voci correlate

• Determinante
• Criterio di Jacobi
• Criterio di Sylvester
• Equazione lineare
• Matrice dei cofattori
• Rango (matematica)

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Minore, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Minore, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
• (EN) MIT Linear Algebra Lecture on Cofactors at Google Video, from MIT OpenCourseWare
• (EN) PlanetMath entry of Cofactors, su planetmath.org. URL consultato il 28 gennaio 2014 (archiviato dall'url originale l'8 aprile 2012).