Profondità (algebra)

In algebra commutativa, la profondità (o grado) di un modulo è un invariante usato specialmente nello studio degli anelli noetheriani. In particolare, è usato per definire gli anelli di Cohen-Macaulay.

Successioni regolari

Sia $I$ un ideale di un anello commutativo unitario $A$ e sia $M$ un $A$ -modulo tale che $IM\neq M$ . Una successione $a_{1},\ldots ,a_{n}$ di elementi di $I$ è una $I$ -successione regolare di $M$ se, per ogni $i$ compreso tra $1$ ed $n$ l'elemento $a_{i}$ non è un divisore dello zero del modulo $M/(a_{1},\ldots ,a_{i-1})M$ .

In generale, la permutazione di una successione regolare non è una successione regolare; ad esempio, se $K$ è un campo e $A=M=K[x,y,z]$ è l'anello dei polinomi in tre indeterminate, allora $(x-1)y,x,(x-1)z$ è una successione regolare, ma non lo è $(x-1)y,(x-1)z,x$ , in quanto $(x-1)z$ è un divisore dello zero di $A/(x-1)yA$ . Se $A$ è noetheriano, una condizione sufficiente perché ogni permutazione di una permutazione regolare sia ancora una successione regolare è che l'ideale $I$ sia contenuto nel radicale di Jacobson; in particolare, questo avviene se $A$ è un anello locale.

Una $I$ -successione regolare $a_{1},\ldots ,a_{n}$ è massimale se non può essere ulteriormente allungata, ovvero se tutti gli elementi di $A$ sono divisori dello zero di $M/(a_{1},\ldots ,a_{n})M$ . In generale, due successioni regolari massimali possono avere lunghezze diverse; questo non avviene però se $A$ è un anello noetheriano e $M$ è un $A$ -modulo finitamente generato.

Definizione

Sia $I$ un ideale di un anello commutativo unitario $A$ e sia $M$ un $A$ -modulo tale che $IM\neq M$ . La profondità di $M$ rispetto ad $I$ è la massima lunghezza di una $I$ -successione regolare di $M$ ; se non vi sono $I$ -successioni regolari, la profondità è 0, mentre se vi sono successioni arbitrariamente lunghe, o successioni infinite, la profondità è infinita. Viene indicata con $\mathrm {depth} _{I}(M)$ (dall'inglese depth = profondità).

Se $M=A$ , allora $\mathrm {depth} _{I}(A)$ è indicato anche come $\mathrm {depth} (I)$ ed è detto la profondità di $I$ . Se inoltre $A$ è un anello locale con ideale massimale ${\mathfrak {m}}$ , allora $\mathrm {depth} ({\mathfrak {m}})$ è chiamato profondità di $A$ , ed è indicato con $\mathrm {depth} (A)$ .

Nel caso degli anello noetheriani locali, una definizione equivalente può essere data attraverso l'algebra omologica: la $I$ -profondità di $M$ è il minimo intero $i$ tale che $\operatorname {Ext} ^{i}(R/I,M)\neq 0$ (dove $\operatorname {Ext}$ indica il funtore Ext).

Proprietà

Un modulo $M$ ha profondità 0 rispetto ad $I$ se e solo se $I$ è contenuto nell'insieme dei divisori dello zero di $M$ ; in particolare, $\mathrm {depth} (I)=0$ se e solo se tutti gli elementi di $I$ sono divisori dello zero. Di conseguenza, se $A$ è un dominio d'integrità allora tutti gli ideali non nulli (e, quindi, l'anello stesso) hanno profondità positiva.

Quando l'anello è noetheriano, si può legare la profondità di un ideale ad altre sue caratteristiche. In questo caso, la profondità di un ideale $I$ è uguale a quella del suo radicale, ed esiste sempre un ideale primo contenente $I$ che ha la stessa profondità di $I$ . Questo permette, procedendo per induzione, di dimostrare che la profondità di $I$ è sempre minore o uguale della sua altezza. Un anello noetheriano tale che $\mathrm {depth} (I)=h(I)$ per ogni ideale $I$ è detto anello di Cohen-Macaulay.

Sempre nel caso noetheriano, la profondità di un modulo finitamente generato $M$ rispetto ad un ideale $I$ è sempre minore o uguale del numero di elementi necessari a generare $I$ . Se inoltre $I=(a_{1},\ldots ,a_{n})$ è contenuto nel radicale di Jacobson di $A$ , allora $\mathrm {depth} _{I}(M)=n$ se e solo se $a_{1},\ldots ,a_{n}$ è una successione regolare. Questi due risultati sono noti come teoremi di unmixedness.

È anche possibile legare la profondità di un modulo con quella delle sue localizzazioni. Infatti, se $S$ è una parte moltiplicativa di $A$ , allora una successione regolare $a_{1},\ldots ,a_{n}$ di $M$ è anche una successione regolare di $S^{-1}M$ , purché $(a_{1},\ldots ,a_{n})S^{-1}M\neq S^{-1}M$ . In particolare, se $S^{-1}IM\neq S^{-1}M$ , allora $\mathrm {depth} _{I}(M)\leq \mathrm {depth} _{S^{-1}I}(S^{-1}M)$ , e dunque $\mathrm {depth} (I)\leq \mathrm {depth} (S^{-1}I)$ . Se $A$ è noetheriano, per ogni ideale $I$ esiste sempre un ideale massimale ${\mathfrak {m}}$ che contiene $I$ tale che $\mathrm {depth} (I)=\mathrm {depth} (I_{\mathfrak {m}})$ . In particolare, la profondità di ${\mathfrak {m}}$ è uguale alla profondità dell'ideale massimale di $A_{\mathfrak {m}}$ .

Un'importante proprietà della profondità è espressa dalla formula di Auslander-Buchsbaum, che afferma che, se $A$ è un anello locale noetheriano ed $M$ è un $A$ -modulo finitamente generato e di dimensione proiettiva $\mathrm {pd} _{A}(M)$ finita, allora