6次元

6次元（ろくじげん、六次元）は、空間次元が6であることを表す。次元が6である空間を6次元空間（英語: Six-dimensional space）と呼ぶ。6次元、6自由度を持ち、この空間内の場所を指定するために6つのデータまたは座標を必要とする任意の空間。 これらの数は無数にあるが、最も興味深いのは、環境のある側面をモデル化した単純なもので 特に興味深いのは6次元ユークリッド空間で、6ポリトープと5球体が構築される。 一定の正および負の曲率を使用して、6次元の楕円空間と双曲線空間も利用される。

ジオメトリ

6次元のポリトープは6-ポリトープと呼ばれる。最も研究されているのは、6次元の3つしか存在しないregular polytopes: 6-simplex, 6-立方体, 6-orthoplex.で、より広いファミリーは、反射の基本的な対称性領域から構成される均一な6-ポリトープ（uniform 6-polytopes）であり、各自Coxeterグループ（ Coxeter group）によって定義される。均一なポリトープは、呼び出された Coxeter-Dynkin diagram図によって定義され、6-デミキューブはD6ファミリーのユニークなポリトープで、E6ファミリーの₂₂₁と1₂₂のポリトープである。

Uniform polytopes in six dimensions
(Displayed as orthogonal projections in each Coxeter plane of symmetry)

A6	B6		D6	E6
6-simplex {3,3,3,3,3}	6-cube {4,3,3,3,3}	6-orthoplex {3,3,3,3,4}	6-demicube = {3,33,1} = h{4,3,3,3,3}	221 = {3,3,32,1}	122 = {3,32,2}

5球

$S^{5}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{6}:\|x\|=r\right\}.$

$V_{6}={\frac {\pi ^{3}r^{6}}{6}}$

6球

$S^{6}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{7}:\|x\|=r\right\}.$

$V_{7}={\frac {16\pi ^{3}r^{7}}{105}}$

用途

フェーズスペース

ファンデルポール発振器の位相の肖像

4次元の回転

$\partial \mathbf {F} =\mathbf {J} \,$

理論的背景

4次元のバイベクトル

$\mathbf {B} =B_{12}\mathbf {e} _{12}+B_{13}\mathbf {e} _{13}+B_{14}\mathbf {e} _{14}+B_{23}\mathbf {e} _{23}+B_{24}\mathbf {e} _{24}+B_{34}\mathbf {e} _{34}$

6ベクトル

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}+a_{4}b_{4}+a_{5}b_{5}+a_{6}b_{6}.$

$\left|\mathbf {a} \right\vert ={\sqrt {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}={\sqrt {{a_{1}}^{2}+{a_{2}}^{2}+{a_{3}}^{2}+{a_{4}}^{2}+{a_{5}}^{2}+{a_{6}}^{2}}}.$

${\sqrt {1+1+1+1+1+1}}={\sqrt {6}}=2.4495,$

参考文献

• Lounesto, Pertti (2001). Clifford algebras and spinors. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-00551-7 
• Aharony, Ofer (2000). “A brief review of "little string theories"”. Quantum Grav. 17 (5). arXiv:hep-th/9911147. Bibcode: 2000CQGra..17..929A. doi:10.1088/0264-9381/17/5/302.