Функция (математика)

Функция (бейнелеу, оператор, түрлендіру) анықтамасы: $X$ және $Y$ жиындары берiлсiн. Егер $X$ және $Y$ жиындарының арасындағы $f$ сәйкестiгi бойынша $X$ жиынының әрбiр элементiне $Y$ жиынының бiр ғана элементi сәйкес қойылса, $f$ сәйкестiгiн $X$ жиынынан $Y$ жиынына бейнелеу деп аталады. Белгiлеуi: $f:X\rightarrow Y$. Егер $y$ элементi $f$ бейнелеуi бойынша $x$ элементiнiң бейнесi болса, оны $f(x)=y$ теңдiгi арқылы жазамыз. Мұндағы $x$ элементi $y$ элементiнiң $f$ бейнелеуі бойынша түпбейнесi, ал $y$ элементi $x$ элементiнiң бейнесi деп аталады.

Функция графигі
${\begin{aligned}&\scriptstyle \\&\textstyle f(x)={\frac {(4x^{3}-6x^{2}+1){\sqrt {x+1}}}{3-x}}\end{aligned}}$.

Егер $X$ мүмкін мәндер жиынтығынан алынған $x$-тің әрбір мәніне айнымалы $Y$ жиынының белгілі бір мәні $y$ сәйкес келсе, онда $y$ айнымалы шамасы $x$ айнымалы шамасының функциясы деп аталады. Мұндай тәуелділік $y=f(x)$ түрінде жазылады. $f$ әрпінің орнына басқа әріптер де (мыс., $F$, т.б.) қолданылады. Мұндағы $x$-ті тәуелсіз айнымалы (кейде аргумент) деп, ал оның өзгеру облысы (жиыны) $y$-тің анықталу облысы деп аталады. $x$-тің өзгеруіне байланысты айнымалы $y$-тің қабылдайтын мәндерінің жиынын $y$ функциясының өзгеру облысы деп атайды. Функцияның жоғарыда берілген анықтамасында назар аударатын екі жағдай бар: біріншісі — аргумент $x$-тің өзгеру облысын көрсету, екіншісі — $x$ пен $y$ мәндерінің арасындағы сәйкестік ережені немесе заңды тағайындау. Егер $x$-тің бір мәніне $y$-тің бір ғана мәні сәйкес келсе, онда $y$-ті $x$-тің бір мәнді функциясы деп, ал егер $x$-тің бір мәніне $y$-тің бірнеше мәні сәйкес келсе, онда $y$-ті $x$-тің көп мәнді функциясы деп атайды.

Әр фигураларға түстерді сәйкестендіретін функция мысалы.

Айнымалы шамалар ($x$ пен $y$) мәндерінің арасындағы сәйкестік ережені немесе заңды функц. тәуелділік дейді. Функция көбінесе аналитикалық тәсіл немесе формула арқылы (мысалы, , т.б.), кейде графиктік және таблицалық (дәл не жуық формулалармен есептелген) тәсілдерімен де беріледі. Математиканың одан әрі дамуы нәтижесінде Функция табиғаты кез келген айнымалы математикалық объектілер арасындағы сәйкестік ретінде жалпыланды. Математиканың басқа ұғымдары тәрізді функция ұғымы да бірден қалыптасқан жоқ. Ол дамудың ұзақ жолынан өтті. “Функция” термині алғаш рет 1692 ж. Г.Лейбництің еңбектерінде кездесті. Функцияның қазіргі ұғымға жақын алғашқы анықтамасын И.Бернулли (1718) берген, ал бұл ұғымды Д.Бернулли, Л.Эйлер, Ж.Фурье, П.Дирихле, Н.И. Лобачевский, т.б. одан әрі дамытты.