Keplerbunn

Keplerbunne sinn ideal Bunnen op deene sech e klengen Himmelskierper ëm ee méi grousse beweegt. Et si Kegelschnëtter wéi Krees, Ellips, Parabel an Hyperbol. D'Keplerellips mat der Bunnachs als Parameter, déi d'Kreesbunn als Spezialfall enthält, beschreift periodesch Ëmlafbunnen, beispillsweis Sonn-Äerd, Äerd-Mound.

Ideal Keplerbunn

Véier vu sechs Bunnelementer vu Planéiten. D'Richtung vum Bunnknuet (Ω) gëtt vum Fréijoerspunkt gezielt.

Am Idealfall, wa keng weider Kierper existéieren (Zwéikierperproblem), baséiert déi géigesäiteg Beweegung op den dräi Gesetzer vum Kepler.

A Polarkoordinaten $(r,\phi )$ mat Urspronk am Zentralstär léisst sech déi geometresch Form vun de Keplerbunne mat follgender Formel beschreiwen:

r(\varphi )={p \over {1+\varepsilon \cdot \cos \varphi }},~\varphi \in I

Dobäi bezeechent $r$ den Ofstand vum Himmelskierper deen ëm den Zentralstär kreest, $\phi$ de Wénkel tëscht de Verbindungslinnen Zentralstär–Periapsis an Zentralstär–Himmelskierper (Richteg Anomalie). Déi zwou Konstanten $\varepsilon$ (d'numeresch Exzentrizitéit) an $p$ (den Hallefparameter) beschreiwen d'Form vun der Keplerbunn. Fir $\varepsilon =0$ handelt et sech ëm eng Kreesbunn, fir $0<\varepsilon <1$ ëm eng Ellips, fir $\varepsilon =1$ ëm eng Parabel a fir $\varepsilon >1$ ëm eng Hyperbel. Den Intervall I an deem de Wénkel $\phi$ variéiert, hänkt vum Bunn-Typ an, am Fall vun der Hyperbel, vun der Exzentrizitéit $\varepsilon$ of: $I=\mathbb {R}$ fir Kreesbunne an Ellipse, $I=(-\pi ,\pi )$ fir Parabelen, $I=(-\arccos {\tfrac {1}{\varepsilon }},\arccos {\tfrac {1}{\varepsilon }})$ fir Hyperbelen.

Keplerbunne loosse sech exakt duerch sechs sougenannt Bunnelementer beschreiwen.

Parabelbunnen an Hyperbelbunne si bei munneche Koméiten ongebonnen Zoustänn. Bei dëse Bunne gëtt et nëmmen een eenzege Rendez-vous, de Koméit verschwënnt duerno aus dem Sonnesystem.

Vitess

Wéinst der Energieerhalung ass d'Bunnvitess ausser am Fall vum Krees net konstant, mä hëlt zou, wann den Ofstand tëscht de Kierper méi kleng gëtt. D'Streck laanscht d'Keplerbunn, déi fir den direkte Wee-Zäit-Zesummenhank vun der Vitess gebraucht gëtt, huet nëmmen a Spezialfäll eng analytesch Léisung. Duerch Betruechte vu kinetescher a potentieller Energie geléngt d'Hierleedung vu Vis-Viva-Equatioun.

Si stellt en Zesummenhank tëscht der Mass $M$ vum Zentralkierper, der Gravitatiounskonstant $G$ , der grousser Hallefachs der Ëmlafellips, der Distanz $r$ dem ëmlafende Kierper an der Vitess $v$ vun dësem Kierper hier:

v={\sqrt {GM\left({{2 \over {r}}-{1 \over {a}}}\right)}}

Fir d'Haaptscheet vun der Ellips gëtt et awer och analytesch Léisungen, déi sech eleng mat Hëllef vun der Ellipsegeometrie berechne loossen, an ouni d'Gravitatiounsparameter auskommen:

Wénkelvitess am Perizentrum:

\omega _{\mathrm {p} }=\omega _{\mathrm {m} }{\sqrt {a^{2}(a+e)/(a-e)^{3}}}

Wénkelvitess am Apozentrum:

\omega _{\mathrm {a} }=\omega _{\mathrm {m} }{\sqrt {a^{2}(a-e)/(a+e)^{3}}}

ω_m: mëttel Wénkelvitess, $\omega _{\mathrm {m} }=2\pi /T$
T: Ëmlafdauer
a: grouss Hallefachs
e: linear Exzentrizitéit

Well sech de Radiusvektor an de Scheetelen differentiell kaum ännert, gëllt:

Perizentrumsvitess:

v_{\mathrm {r} }=\omega _{\mathrm {p} }(a-e)={\frac {2\pi }{T}}a{\sqrt {\frac {a+e}{a-e}}}

Apozentrumsvitess:

v_{\mathrm {r} }=\omega _{\mathrm {a} }(a+e)={\frac {2\pi }{T}}a{\sqrt {\frac {a-e}{a+e}}}

Stéierend Kraaft

Duerch onreegelméisseg oder weider Himmelskierper ass d'Gravitatiounsfeld awer net kugelsymmetresch, woduerch Bunnstéierungen entstinn. Och kleng Bremseffeten duerch Gasen, Meteoroiden oder duerch Stralungsdrock droen dozou bäi. Doduerch ännere sech lues d'Zuelewäerter vun de sechs Bunnelementer.

Et kann een dës zäitofhängeg oder periodesch Effete duerch d'Method „Variatioun vun den Elementer“ berechnen, woubäi all momentan („oskuléierend“) Keplerellips stänneg an déi nächst iwwergeet. D'Bunnstéierunge kënne laangzäitlech (ëmmer a gläicher Richtung) oder periodesch sinn. An der Géigend vun irregulär geformte Himmelskierper oder beim Fluch duerch Matièrewolleke trieden och onreegelméisseg Effeten op.

D'Bunnachse (a) vun den aacht Planéiten aus eisem Sonnesystem bleiwe praktesch konstant, well hir Mass grouss an d'Bunne kreesähnlech sinn. Asteroide a Koméite kënnen awer gravéierend Ännerunge kréien, wa si engem Planéit méi no kommen. Bei niddrege kënschtleche Äerdsatellite sinn d'Bunnstéierunge e puer zéngtel Grad pro Stonn resp. e puer Kilometer a loossen op déi genee Form vum Geoid schléissen.

Streng geholl zielen exakt Keplerbunnen nëmme fir kugelfërmeg Kierper, dës Bedingung ass bei gréissere Distanzen an der Astronomie genuch erfëllt. Och fir Moundbunne ëm staark ofgeplatt Planéiten (z. B. Jupitermounde) kann ee mat Kepler Formele rechnen, wann dat drëtte Keplergesetz ëm e klenge Faktor ergänzt gëtt. De facto leeft dës (zousätzlech zu der Bunnachs a) op e siwent Bunnelement fir d'Ëmlafzäit eraus.

Kuckt och

Portal Astronomie

Referenzen