lss.moe

能量

在力学系统运动过程中, 存在一些关于广义坐标和广义速度的函数, 其值在运动过程中保持恒定, 这样的函数称为运动积分.

对于具有\(s\)个自由度的封闭系统, 可以通过下面的方法构造出\(2s-1\)个运动积分. \(s\)个自由度的系统的运动方程通解中存在\(2s\)个常数\(C_{1},C_{2},\dots\) . 由于封闭系统具有时间平移不变性, 时间平移后的运动轨迹\(q(t)\mapsto q(t+t_{0})\)仍然是运动方程的解, 因此我们可以将其中一个常数选择为\(t_{0}\), 从下面的\(2s\)条方程 \[ \begin{align} q_{i}&=q_{i}(t+t_{0},C_{1},\dots,C_{2s-1})\\ \dot{q}_{i}&=\dot{q}_{i}(t+t_{0},C_{1},\dots,C_{2s-1}) \end{align} \] 消去\(t+t_{0}\), 然后将\(C_{1},\dots\) 表示成关于\(q_{i}和\dot{q}_{i}\)的函数, 这些函数就是运动积分. 然而并不是所有运动积分都由相同的重要性, 有些运动积分来自拉格朗日函数的对称性这样的基本性质.

如果拉格朗日量不显含时间, 即运动方程具有时间平移对称性, 关于拉格朗日量的全导数可以写为 \[ \frac{\mathrm{d} L}{\mathrm{d} t}=\sum_{i}\frac{\partial L}{\partial q_{i}}\dot{q}_{i}+\sum_{i}\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_{i}}\mathrm{d}ot{q}_{i} \] 利用拉格朗日方程替换\(\partial L/\partial q_{i}\) \[ \begin{align} \frac{\mathrm{d} L}{\mathrm{d} t}&=\sum_{i}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_{i}}\dot{q}_{i}+\sum_{i}\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_{i}}\mathrm{d}ot{q}_{i}\\ &=\sum_{i}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_{i}}\dot{q}_{i}\right) \end{align} \] 所以我们得到 \[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(\sum_{i}\dot{q}_{i}\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_{i}}-L\right)=0 \] 由此可知 \[ E=\sum_{i}\dot{q}_{i}\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_{i}}-L \] 在运动中保持不变, 称为系统的能量. 能量守恒的系统也称为保守系统.

对于封闭的质点系, 拉格朗日量是动能减去势能 \[ L=T-U \] 由于上一节提到, 动能是广义速度的二次型, 换言之动能是关于广义速度的二次齐次函数 \[ T(\lambda\dot{q}_{1},\lambda\dot{q}_{2},\dots)=\lambda^{2}T(\dot{q}_{1},\dot{q}_{2},\dots) \] 两边对\(\lambda\)求导, 最后取\(\lambda=1\), 我们得到 \[ \sum_{i}\dot{q}_{i}\frac{\partial T}{\partial\dot{q}_{i}}=2T \] 利用这个恒等式, 我们得到 \[ E = T + U \] 即封闭质点系的能量是动能加上势能.

动量

另一个守恒律与空间平移对称性有关. 如果拉格朗日量关于空间平移不变, 即所有坐标平移相同的无穷小位移\(\boldsymbol{\epsilon}\)引起的拉格朗日量的变化 \[ \delta L=\sum_{i}\frac{\partial L}{\partial\boldsymbol{r}_{i}}\cdot\delta\boldsymbol{r}_{i}=\boldsymbol{\epsilon}\cdot\sum_{i}\frac{\partial L}{\partial\boldsymbol{r}_{i}} \] 为\(0\), 那么 \[ \sum_{i}\frac{\partial L}{\partial\boldsymbol{r}_{i}}=0 \] 根据拉格朗日方程 \[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\sum_{i}\frac{\partial L}{\partial\boldsymbol{v}_{i}}=0 \] 由此可知 \[ \boldsymbol{P}=\sum_{i}\frac{\partial L}{\partial\boldsymbol{v}_{i}}=\sum_{i}m\boldsymbol{v}_{i} \] 在运动中守恒, 是运动积分, 称为系统的动量. 上面的推导在拉格朗日量对于某个或者多个广义坐标平移不变时也同样成立, 这样得到的动量称为广义动量.

角动量

空间旋转对称性蕴含角动量守恒. 假设径矢\(\boldsymbol{r}\)与转轴\(\hat{\boldsymbol{n}}\)之间的夹角为\(\theta\), 那么径矢在旋转过程中改变了 \[ |\delta\boldsymbol{r}|=r\sin\theta\delta\varphi \] 写成矢量形式 \[ \delta\boldsymbol{r}=\delta\boldsymbol{\varphi}\times\boldsymbol{r} \] 这里我们按照惯例取旋转角的方向为转轴方向\(\hat{\boldsymbol{n}}\). 在旋转过程中, 速度也发生了改变 \[ \delta\boldsymbol{v}=\delta\boldsymbol{\varphi}\times\boldsymbol{v} \] 因此拉格朗日量绕轴\(\hat{\boldsymbol{n}}\)旋转\(\delta\varphi\)角度不变意味着 \[ 0=\frac{\partial L}{\partial\boldsymbol{\varphi}}=\sum_{i}\frac{\partial L}{\partial\boldsymbol{r}_{i}}\cdot\delta\boldsymbol{r}_{i}+\sum_{i}\frac{\partial L}{\partial\boldsymbol{v}_{i}}\cdot\delta\boldsymbol{v}_{i}=\delta\boldsymbol{\varphi}\cdot\sum_{i}\left(\boldsymbol{r}_{i}\times\frac{\partial L}{\partial\boldsymbol{r}_{i}}+\boldsymbol{v}_{i}\times\frac{\partial L}{\partial\boldsymbol{v}_{i}}\right) \] 这里用到了矢量恒等式 \[ A\cdot(B\times C)=B\cdot(C\times A) \] 做代换 \[ \frac{\partial L}{\partial\boldsymbol{r}_{i}}=\dot{\boldsymbol{p}}_{i}\qquad\frac{\partial L}{\partial\boldsymbol{v}_{i}}=\boldsymbol{p}_{i} \] 这里\(\boldsymbol{p}_{i}\)是第\(i\)个质点的动量. 于是 \[ 0=\delta\boldsymbol{\varphi}\cdot\sum_{i}\left(\boldsymbol{r}_{i}\times\dot{\boldsymbol{p}}_{i}+\dot{\boldsymbol{r}}_{i}\times\boldsymbol{p}_{i}\right)=\delta\boldsymbol{\varphi}\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\sum_{i}\boldsymbol{r}_{i}\times\boldsymbol{p}_{i} \] 由\(\delta\boldsymbol{\varphi}\)的任意性(这里的任意性指的是不仅仅转角大小是任意的, 转轴选择也是任意的), 在运动过程中角动量矢量 \[ \boldsymbol{M}=\sum_{i}\boldsymbol{r}_{i}\times\boldsymbol{p}_{i} \] 守恒. 如果拉氏量仅有关于某个特定转轴的对称性, 角动量矢量本身不守恒, 但是沿着转轴方向的投影是守恒的. 需要注意的是, 上述推导仅仅是为了导出笛卡尔坐标下的角动量表达式, 如果取旋转角\(\varphi\)为广义坐标, 上一节的推导仍然适用, \(\partial L/\partial\dot{\varphi}\)在运动过程中守恒, 可见角动量守恒可以看成一种特殊的广义动量守恒.

由于角动量的定义中出现了径矢, 定义依赖于坐标原点的选择, 考虑坐标变换\(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}'+\boldsymbol{a}\), 新老坐标系中的角动量之间有以下关系 \[ \boldsymbol{M}=\boldsymbol{M}'+\boldsymbol{a}\times\sum_{i}\boldsymbol{p}_{i} \] 所以仅当系统整体总动量为\(0\)时, 角动量的数值才不依赖坐标原点的选择.

力学相似性

由于拉格朗日量乘上一个常数不改变运动方程, 利用这一点, 无需实际求解运动方程就可以得到关于运动性质的一些有用结论.

假设质点系的势能函数是\(k\)次齐次函数 \[ U(\lambda\boldsymbol{r}_{1},\lambda\boldsymbol{r}_{2},\dots)=\lambda^{k}U(\boldsymbol{r}_{1},\boldsymbol{r}_{2},\dots) \] 现在考虑标度变换\(\boldsymbol{x}\mapsto\alpha\boldsymbol{x},t\mapsto\beta t\), 那么速度\(\boldsymbol{v}\mapsto\alpha/\beta\boldsymbol{v}\), 动能变成原来的\(\alpha^{2}/\beta^{2}\)倍, 而势能变为原来的\(\alpha^{k}\)倍, 如果 \[ \frac{\alpha^{2}}{\beta^{2}}=\alpha^{k} \] 即\(\beta=\alpha^{1-k/2}\), 运动方程在标度变换下保持不变. 这意味着运动方程的解在这样的标度变换下也保持不变.

所有质点的坐标改变相同的倍数, 意味着变换前后的运动轨迹在几何上是相似的. 根据上面的讨论, 如果势能函数是齐次函数, 几何上相似的轨迹相应点的运动时间之比为 \[ \frac{t'}{t}=\left(\frac{l'}{l}\right)^{1-k/2} \] 对于单摆运动\(k=2\), 所以摆长和振荡周期无关; 对于开普勒运动\(k=-1\), 所以 \[ \frac{t'}{t}=\left(\frac{l'}{l}\right)^{3/2} \] 这正是开普勒第三定律.

维里定律

如果力学系统在有限的空间中运动, 并且势能是坐标的齐次函数, 那么动能和势能的时间平均值之间存在非常简单的关系, 这个关系称为维里定理.

动能可以写为 \[ 2T=\sum_{i}\frac{\partial T}{\partial\boldsymbol{v}_{i}}\cdot\boldsymbol{v}_{i}=\sum_{i}\boldsymbol{p}_{i}\cdot\boldsymbol{v}_{i}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\sum_{i}\boldsymbol{p}_{i}\cdot\boldsymbol{r}_{i}-\sum_{i}\dot{\boldsymbol{p}}_{i}\cdot\boldsymbol{r}_{i} \] 对上式取时间平均 \[ \bar{f}=\lim_{\tau\to\infty}\frac{1}{\tau}\int_{0}^{\tau}f(t)\,\mathrm{d} t \] 由于系统在有限的空间中运动, 第二项 \[ \lim_{\tau\to\infty}\frac{1}{\tau}\int_{0}^{\tau}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\sum_{i}\boldsymbol{p}_{i}\cdot\boldsymbol{r}_{i}\,\mathrm{d} t=\lim_{\tau\to\infty}\frac{1}{\tau}\left.\sum_{i}\boldsymbol{p}_{i}\cdot\boldsymbol{r}_{i}\right|_{\tau}=0 \] 所以 \[ 2\bar{T}=-\overline{\sum_{i}\dot{\boldsymbol{p}}_{i}\cdot\boldsymbol{r}_{i}} \] 做代换\(\dot{\boldsymbol{p}}_{i}=-\partial U/\partial\boldsymbol{r}_{i}\), 再利用势能是坐标的\(k\)次齐次函数, 我们得到 \[ 2\bar{T}=\overline{\sum_{i}\boldsymbol{r}_{i}\cdot\frac{\partial U}{\partial\boldsymbol{r}_{i}}}=k\bar{U} \] 或者可以用总能量将上面的表达式重写为 \[ \bar{U}=\frac{2}{k+2}E\qquad\bar{T}=\frac{k}{k+2}E \] 对于牛顿引力势\(k=-1\), 所以\(E=-\bar{T}\), 这意味着只有当总能量为负值时运动才是有界的.

Remark

很久之前第一次学习理论力学时, 我觉得拉格朗日描述的主要优点在于将物理学家从受力分析中解放了出来. 如今想想, 当时的认识还是过于狭隘了, 拉格朗日描述的价值主要在于构造满足对称性的新理论. 这节的内容表明了拉格朗日量本身具有的对称性能直接传递到运动方程上, 因此只要拉格朗日量满足某些对称性, 运动方程的对称性自然得到了保证.

然而, 从物理的角度, 我们不应该认为拉格朗日描述是更基本的, 最基本的始终是运动方程. 从运动方程角度出发我们一样能研究解的性质 (例如力学相似性), 并不需要写下拉格朗日量. 类似的, 最小作用量原理是不包含物理内容的, 它只是将运动方程以一种紧凑的形式编码成一个简单的标量函数, 我相信其他形式的编码也是有可能的.

另外我在撰写这两节的笔记时尽量避免提及, 时空均匀性, 我认为这样的表述是物理学家之间的黑话, 运动方程在时空平移变换下保持不变是更加清楚的表述.

参考文献

[1] 朗道, 力学

最小作用量原理

对于任意一个力学系统, 其运动方程可以由拉格朗日函数完全描述 \[ L(q_{1},\dots,q_{s},\dot{q}_{1},\dots,\dot{q}_{s},t) \] 其中, \(q_{1},\dots,q_{s}\)描述系统的位置或构型, 称为广义坐标; \(\dot{q}_{1},\dots,\dot{q}_{s}\)描述系统的速度, 称为广义速度, \(s\)是这个力学系统的自由度. 系统的运动方程由最小作用量原理导出, 如果给定系统在\(t_1\)时刻和\(t_2\)时刻的广义坐标, 系统的真实运动使得作用量 \[ S=\int_{t_{1}}^{t_{2}}L(q_{1},\dots,q_{s},\dot{q}_{1},\dots,\dot{q}_{s},t)\,\mathrm{d} t \] 取最小值. 不失一般性, 假设系统只有一个自由度, 如果我们把使得作用量取极小值的真实运动路径记做\(q(t)\), 任意关于真实路径的无穷小偏离\(\delta q(t)\)都会使得\(S\)增大. 最小作用量原理要求\(\delta q(t)\)对\(S\)的一阶影响为\(0\), 换言之 \[ \delta S=0 \] 下面我们计算作用量的变分 \[ \begin{align} \delta S&=\delta\int_{t_{1}}^{t_{2}}L(q,\dot{q},t)\,\mathrm{d} t\\ &=\int_{t_{1}}^{t_{2}}\left[\frac{\partial L}{\partial q}\delta q+\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\delta\dot{q}\right]\mathrm{d} t\\ &=\left.\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\delta q\right|_{t_{1}}^{t_{2}}+\int_{t_{1}}^{t_{2}}\left[\frac{\partial L}{\partial q}\delta q-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\delta q\right]\mathrm{d} t\\ &=\int_{t_{1}}^{t_{2}}\left(\frac{\partial L}{\partial q}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\right)\delta q(t)\mathrm{d} t \end{align} \] 因为在边界处满足\(\delta q(t_{1})=\delta q(t_{2})=0\), 所以第三行的第一项为\(0\). 由于对于任意的\(\delta q\), \(\delta S\)都为\(0\), 这只有在被积函数恒等于\(0\)的时候才有可能成立. 于是我们得到方程 \[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}-\frac{\partial L}{\partial q}=0 \] 这个方程称为欧拉-拉格朗日方程. 拉格朗日方程是一个二阶微分方程, 这意味着给定系统在某一时刻的广义坐标和广义速度, 系统接下来的运动就完全确定了, 这符合实验事实. 这也是拉格朗日函数只依赖广义坐标的一阶导数的原因.

对于无相互作用的两个系统 A 和 B , 总的拉格朗日量应当为两个系统的拉格朗日量之和 \[ L=L_{A}+L_{B} \] 这是因为, 既然 A 和 B 之间没有相互作用, 即子系统的运动方程只由子系统的拉格朗日量决定, 且拉格朗日量中不应依赖另外一个子系统的广义坐标.

拉格朗日量的定义可以差一个关于时间和坐标的全导数 \[ L\to L+\frac{\mathrm{d} f(q,t)}{\mathrm{d} t} \] 这是因为这一项对作用量的贡献是纯边界项, 在变分时为\(0\), 不影响运动方程.

伽利略相对性原理

在描述力学系统时, 参考系的选取是任意的. 然而, 实验表明似乎存在一类特殊的参考系, 在这类参考系中物理规律具有时间和空间的平移不变性以及空间的旋转不变性; 具体而言, 孤立系统的运动方程在任意的时间和空间平移变换 \[ \boldsymbol{x}\to\boldsymbol{x}+\boldsymbol{\epsilon}\qquad t\to t+\epsilon \] 以及旋转变换下保持不变, 这类参考系称为惯性参考系. 有时会将这样的性质表述为, 时间在惯性参考系中是均匀的, 空间是均匀各向同性的.

实验表明, 惯性参考系中的运动方程在伽利略变换 \[ \begin{align} \boldsymbol{x}' &=\boldsymbol{x}+\boldsymbol{V}t\\ t'&=t \end{align} \] 下保持不变, 这个事实被称为伽利略相对性原理. 事实上, 伽利略变换定义了一个新的惯性参考系, 这个参考系相对于原参考系做匀速直线运动. 上面 t ’ = t 是经典力学中重要的绝对时间假设.

有意思的是, 如果我们用时空均匀性和各向同性定义惯性参考系, 这意味着两个惯性参考系中的时空坐标变换一定是线性的.

自由质点的拉格朗日量

对于惯性参考系中的自由质点, 为了保证其运动方程在时间和空间平移下保持不变, 不妨令其拉格朗日量不显含时间和空间坐标. 由于惯性系中的运动方程具有各向同性, 自由质点的拉格朗日量只能是速度平方的函数\(L=L(v^{2})\). 根据欧拉拉格朗日方程, 自由质点的运动方程 \[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\frac{\partial L}{\partial\boldsymbol{v}}=0 \] 这意味着速度必然是常数, 也就是说, 自由质点在惯性参考系中静止或者做匀速直线运动.

为了导出自由质点拉格朗日量的具体形式, 我们考虑做无穷小伽利略变换\(\boldsymbol{x}\mapsto\boldsymbol{x}+\boldsymbol{\epsilon}t\), 新坐标系中的拉格朗日量为 \[ L(v^{2}+2\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{\epsilon}+\cdots)\approx L(v^{2})+2\frac{\partial L}{\partial v^{2}}\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{\epsilon}+\mathcal{O}(\epsilon^{2}) \] 如果想要让运动方程在任意的无穷小\(\boldsymbol{\epsilon}\)保持不变, 即第二项是时间的全导数, \(L\)必须是\(v^2\) 的线性函数. 因此自由质点的拉格朗日量可以写为 \[ L=\frac{1}{2}mv^{2} \] 这里\(m\)定义了质点的质量.

质点系的拉格朗日量

对于孤立质点系, 如果质点间没有相互作用, 其拉格朗日量是所有自由质点的拉氏量之和 \[ L=\sum_{i}\frac{1}{2}m_{i}v_{i}^{2} \] 为了描述质点系之间的相互作用, 我们可以引入一个关于坐标的函数\(U\)将拉氏量写为 \[ L=\sum_{i}\frac{1}{2}m_{i}v_{i}^{2}-U(\boldsymbol{r}_{1},\boldsymbol{r}_{2},\dots) \] 函数\(U\)称为质点系的相互作用势能, 第一项称为质点系的动能\(T\). 这里的负号是必要的, 计算拉格朗日方程我们得到 \[ m_{i}\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{v}_{i}}{\mathrm{d} t}=-\nabla_{\boldsymbol{r}_{i}}U \] 这样与牛顿力学里的形式一致. 这里相互作用势能只依赖于不同质点的位置, 这意味着一个质点位置的改变会瞬时影响所有质点, 这是一个假设, 仅在经典力学里成立.

如果不使用笛卡尔坐标描述系统, 而用一般的广义坐标 \[ x_{a}=f_{a}(q_{1},\dots,q_{s})\qquad\dot{x}_{a}=\sum_{k}\frac{\partial f_{a}}{\partial q_{k}}\dot{q}_{k} \] 质点系的动能仍然具有二次型的形式 \[ T=\frac{1}{2}\sum_{i,k}a_{ik}(q)\dot{q}_{i}\dot{q}_{k} \] 现在我们考虑质点系\(A\)与运动完全已知的质点系\(B\)相互作用. 质点系\(A\)的拉格朗日量可以通过将完整孤立系统\(A + B\)的拉格朗日量 \[ L=L_{A}(q_{A},\dot{q}_{A})+L_{B}(q_{B},\dot{q}_{B})-U(q_{A},q_{B}) \] 中质点系\(B\)的广义坐标 \(q_B\) 用给定的关于时间的函数替代得到. 这样第二项\(L_b\)是关于时间的函数, 可以从\(L\)中略去, 于是 \[ L=T_{A}(q_{A},\dot{q}_{A})-U(q_{A},q_{B}(t)) \]

参考文献

[1] 朗道, 力学