Paulio matricos

Paulio matricos – trys 2x2 kompleksinės ermito ir unitariosios matricos. Paprastai žymimos graikiška raide 'sigma' (σ), retkarčiais – 'tau' (τ). Naudojamos aprašyti izotopinio sukinio simetrijas. Jos yra:

$\sigma _{1}=\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$

$\sigma _{2}=\sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}$

$\sigma _{3}=\sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$

Pavadintos žymaus austrų fiziko Volfgango Paulio vardu.

Algebrinės savybės

$\sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=\sigma _{3}^{2}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=I$

kur I yra vienetinė matrica.

Paulio matricų determinantas ir pėdsakas (diagonaliųjų narių suma) yra:

${\begin{matrix}\det(\sigma _{i})&=&-1&\\[1ex]\operatorname {Tr} (\sigma _{i})&=&0,&\quad \ i=1,2,3\end{matrix}}$

Komutatyvumo sąryšiai

$\sigma _{1}\sigma _{2}=i\sigma _{3}\,\!$

$\sigma _{3}\sigma _{1}=i\sigma _{2}\,\!$

$\sigma _{2}\sigma _{3}=i\sigma _{1}\,\!$

$\sigma _{i}\sigma _{j}=-\sigma _{j}\sigma _{i},\quad i\neq j\,\!$

• Paulio matricos turi tokias komutatyvumo ir nekomutatyvumo savybes:

${\begin{matrix}[\sigma _{i},\sigma _{j}]&=&2i\,\varepsilon _{ijk}\,\sigma _{k}\\[1ex]\{\sigma _{i},\sigma _{j}\}&=&2\delta _{ij}\cdot I\end{matrix}}$

Kvadratiniai skliausteliai žymi komutatorių ($[a,b]=ab-ba$), riestiniai skliausteliai - antikomutatorių ($\{a,b\}=ab+ba$). Čia $a$ ir $b$ yra operatoriai.