Euklidinė geometrija

Euklidinėje geometrijoje modeliai tiriami naudojant atstumus tarp taškų ir tiesių ir kampus tarp tiesių. Paveikslėlyje pavaizduota Niutono teoremos iliustracija.

Euklidinė geometrija – geometrijos teorija, besiremianti III a. pr. m. e. graikų mokslininko Euklido suformuluotų aksiomų (postulatų) sistema.

Euklidinė geometrija yra neišlenktos erdvės geometrija. Pirmasis išlenktos erdvės pavyzdys yra sferos paviršius. Svarbiausios Euklido geometrijos sąvokos yra taškas, tiesė, atkarpa, kraštinė, apskritimas su spinduliu ir centru, statusis kampas ir kongruencija.

XIX a. buvo rasta kitų geometrijos formų, tokios geometrijos pradėtos vadinti neeuklidinėmis.

Euklido aksiomos

Euklido postulatai

Euklidas savo veikale „Pradmenys“ suformulavo tokias aksiomas:

1. Per du nesutampančius taškus visada galima nubrėžti tiesę.
2. Atkarpą, jungiančią du taškus visada galima pratęsti į abi puses ir gauti tiesę.
3. Apie bet kokį tašką galima apibrėžti bet kokio spindulio apskritimą.
4. Visi statūs kampai tarpusavyje lygūs.
5. Jeigu tiesei (A) kertant dvi kita tieses (B, C) susiformuoja kampai, nelygūs statiems, tai tas dvi tieses (B, C) pratęsus neribotai, jos susikirs toje pusėje, kur kampai mažesni už stačiuosius.

Penktoji aksioma dar yra vadinama tiesių lygiagretumo aksioma arba lygiagretumo postulatas. Yra įrodyta, jog ji neišvedama iš likusių kitų.

XIX a. buvo įrodyta, kad Euklido aksiomų sistema yra nepilna. 1882 m. vokiečių matematikas Moricas Pašas pateikė neįrodomos teoremos pavyzdį ir įtraukė ją į sistemą kaip kitą aksiomą, vadinamą Pašo aksioma.

Visą Euklido geometrijos aksiomų sistemą 1899 m. suformulavo Hilbertas ir išdėstė ją savo darbe „Geometrijos pagrindai“ (Grundlagen der Geometrie). Hilberto aksiomos neprieštarauja Euklido aksiomoms ir aprašo tas pačias savybes šiuolaikine matematikos kalba.

Išmetus penktąją aksiomą apie lygiagrečias tieses, gaunama neeuklidinė geometrija.

Euklidinis atstumas

Euklidinėje geometrijoje atstumas tarp dviejų taškų $(x_{1},y_{1})$ ja $(x_{2},y_{2})$ plokštumoje yra vadinamas Euklidiniu atstumu, apskaičiuojamas naudojant Pitagoro teoremą:

$d_{e}={\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}.$