Kalkulus

Topik dalam Kalkulus

Teorem asas Had fungsi Keselanjaran Teorem nilai min Kalkulus pembezaan Terbitan Perubahan pemboleh ubah Pembezaan tersirat Teorem Taylor Kadar terhubung Identiti Petua: Petua kuasa Petua hasil darab Petua hasil bahagi Petua rantai Kalkulus kamiran Kamiran Senarai kamiran Kamiran tak wajar Pengamiran mengikut: bahagian, cakera, kerang silinder, penggantian, penggantian trigonometri, pecahan separa, peringkat pengamiran Kalkulus vektor  Kecerunan Kecapahan Ikal Laplacean Teorem kecerunan Teorem Green Teorem Stokes Teorem kecapahan Kalkulus multipemboleh ubah Kalkus matriks Terbitan separa Kamiran berganda Kamiran garis Kamiran permukaan Kamiran isi padu Jacobian

Kalkulus (Bahasa Latin: calculus terbitan calx "batu kerikil; batu kecil; bara" untuk menghitung) adalah cabang ilmu matematik yang merangkumi had, terbitan, kamiran, dan deret tak terhingga. Kalkulus adalah ilmu mengenai perubahan, sebagaimana geometri adalah ilmu mengenai bentuk dan algebra adalah ilmu mengenai pengerjaan untuk memecahkan persamaan serta aplikasinya. Kalkulus mempunyai aplikasi yang luas dalam bidang-bidang sains, ekonomi, dan teknikal; serta dapat menyelesaikan pelbagai masalah yang tidak dapat diselesaikan dengan algebra asas.

Kalkulus mempunyai dua cabang utama, iaitu kalkulus pembezaan dan kalkulus kamiran yang saling berhubungan melalui teorem asas kalkulus. Pelajaran kalkulus adalah pintu gerbang menuju pelajaran matematik lain yang lebih tinggi, yang khusus mempelajari fungsi dan limit, yang secara umum dinamakan analisis matematik.

Sejarah

Sejarah perkembangan kalkulus dibahagikan kepada beberapa peringkat zaman iaitu zaman kuno, zaman pertengahan, dan zaman moden.

Zaman kuno

Pada zaman kuno, beberapa pemikiran tentang kalkulus integral telah muncul, tetapi tidak dikembangkan dengan baik dan teratur. Pengiraan isipadu dan luas yang utama dalam kalkulus kamir ditelusuri kembali pada Papirus Moskwa zaman Mesir Purba s. 1800 SM yang menunjukkan kemampuan menghitung isipadu piramida terpancung. Arkhimedes mengembangkan pemikiran ini lebih jauh dan menciptakan heuristik yang menyerupai kalkulus integral.

Pada zaman pertengahan, Aryabhata di Patalipura (kini Patna di India) menggunakan konsep kecil ananta atau "tak terhingga" tahun 499 M dan menggambarkan masalah kiraan falak dalam bentuk persamaan membeza dasar. Persamaan ini kemudian mendorong Bhāskara II pada abad ke-12 mengembangkan bentuk awal turunan yang mewakili perubahan yang sangat kecil takterhingga dan menjelaskan bentuk awal dari "Teorem Rolle". Sekitar tahun 1000, Ibnu Haitham menjadi orang pertama yang merumuskan hitungan hasil jumlah pangkat empat, dan mengembangkan suatu kaedah permusuan umum dari hasil kuasa kamir integral yang sangat penting terhadap perkembangan kalkulus integral dengan menggunakan induksi , dia m. Pada abad ke-12, Sharaf al-Din al-Tusi di Iran menemukan turunan dari fungsi kubik, sebuah hasil yang penting dalam kalkulus pembeza. Pada abad ke-14, Madhava bersama ahli falak seperjuangannya di sekolah falak Kerala menjelaskan masalah khusus dari siri Taylor yang dituliskan dalam teks Yuktibhasa.

Zaman moden

Penemuan kiraan berkaitan bidang ini muncul sendiri di Jepun oleh Seki Kōwa pada awal abad ke-17. Di Eropah, beberapa matematikawan seperti John Wallis dan Isaac Barrow memberikan terobosan dalam kalkulus. James Gregory membuktikan sebuah kasus khusus dari teorema dasar kalkulus pada tahun 1668. Sir Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm Leibniz telah menjalankan penyelidikan secara berasingan dan telah memberi sumbangan terbesar dalam kajian tersebut. Penyelidikan Sir Isaac Newton bermula apabila University of Cambridge ditutup pada tahun 1665 yang menyebabkan beliau terpaksa pulang ke tempat asalnya iaitu Lincolnshire.

Selama 18 bulan di sana, beliau telah mencipta ‘Method of Fluxions’, teori graviti dan teori cahaya. Berikutan dengan penciptaan teori-teori tersebut, beliau telah menulis sebuah buku yang berjudul ‘De Methodis Serierum et Fluxionum’ pada tahun 1671. Namun, Sir Isaac Newton telah gagal untuk menerbitkan buku tersebut. Buku tersebut tidak diterbitkan sehingga John Colson berjaya menerbitkannya dalam versi Bahasa Inggeris pada tahun 1736. Walau bagaimanapun, buku hasil tulisan Sir Isaac Newton tidak mempunyai simbol dan rumus.

Sir Isaac Newton

Gottfried Wilhelm Leibniz telah memulakan penyelidikan beliau pada tahun 1673. Beliau merupakan tokoh yang telah mencipta simbol pembezaan dan pengamiran. Penerbitan pertamanya adalah pada tahun 1684 iaitu ‘Nova Methodus pro Maximis et Minimis, itemque Tangentibus’ dalam ‘Acta Eruditorum’, sebuah surat khabar yang diwujudkan pada tahun 1682 di Leipzig. Kemudian dua orang adik-beradik Bernoulli iaitu Jacob dan Johann mengambil idea tersebut dan mengembangkannya. Sejak kurun ke-17, penyelidikan tentang kalkulus telah mula berkembang dan mencapai tahap seperti yang sedia ada sekarang.

Prinsip

Had dan infinitesimal

Definisi had: Katakan had f(x) ketika x mendekati titik p adalah L apabila untuk setiap bilangan ε > 0 apapun, terdapat bilangan δ > 0, sedemikian rupanya: $0<|x-p|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon$

Kalkulus pada umumnya dibangunkan dengan memanipulasi sejumlah kuantiti yang sangat kecil. Objek ini, yang boleh diperlakukan sebagai nombor, adalah sangat kecil. Sebuah bilangan dx yang infinitesimalnya dapat lebih besar daripada 0, namun lebih kecil daripada bilangan apapun tentang deret 1, ½, ⅓, ... dan bilangan nyata positif apapun. Setiap integer yang didarab dengan infinitesimal tetaplah infinitesimal, dengan kata lain kecil tak terhingga tidak memenuhi hotel Archimedes. Dari sudut pandang ini, kalkulus adalah sekumpulan teknik untuk memanipulasi infinitesimal.

Pada abad ke-19, konsep infinitesimal ini digantikan oleh konsep had. Had ini menjelaskan nilai suatu fungsi pada nilai input tertentu dengan keputusan daripada nilai input berdekatan. Dari sudut pandang ini, kalkulus adalah segugusan teknik memanipulasikan had-had tertentu.

Terbitan

Grafik fungsi terbitan.

Terbitan dari suatu fungsi mewakili perubahan yang sangat kecil dari fungsi tersebut terhadap pembolehubahnya. Proses menemukan terbitan dari suatu fungsi disebut sebagai pembezaan.

Secara matematik, turunan fungsi ƒ(x) terhadap pemboleh ubah x adalah ƒ' yang nilainya pada titik x ialah:

$f'(x)=\lim _{h\to 0}{f(x+h)-f(x) \over {h}}$ ,

dengan syarat wujudnya limit tersebut. Jika ƒ' eksis pada titik x tertentu, kita katakan bahawa ƒ dibezakan (mempunyai keturunan) pada x, dan jika ƒ' eksis di setiap titik pada domain ƒ, kita sebut ƒ terdiferensialkan.