Browne ruilde de jeugdopleiding van Bohemians Dublin in 2021 voor die van Shelbourne FC.[1] Op 6 november 2022 maakte hij zijn officiële debuut in het eerste elftal van de club: in de competitiewedstrijd tegen St. Patrick's Athletic FC (4-0-nederlaag) liet trainer Damien Duff hem in de 66e minuut invallen.[2] In juli 2023 leende Shelbourne hem voor de rest van het seizoen uit aan
[3] Browne speelde dat seizoen veertien competitiewedstrijden in de First Division, waarvan twee in de play-offs.
In januari 2024 versierde Browne een transfer naar Crystal Palace, weliswaar om aan te sluiten bij de jeugdopleiding.[4]