Bašić speelde in de jeugd van NK Dubrava en NK Zagreb, waarna hij in 2014 terechtkwam bij Hajduk Split. Voor hij door wist te breken bij Hajduk werd de middenvelder eerst verhuurd aan NK Rudeš. Na een jaar bij die club keerde Bašić terug naar Hajduk, waar hij vaker in het eerste elftal aan spelen toekwam. In de zomer van 2018 verkaste de Kroatische middenvelder voor circa drieënhalf miljoen euro naar Girondins Bordeaux, waar hij zijn handtekening zette onder een verbintenis voor de duur van vier seizoenen.[1] In zijn eerste twee jaar zat hij nog veelvuldig op de reservebank, maar vanaf het begin van het seizoen 2020/21 had hij een belangrijkere rol bij Bordeaux.
Bašić werd na die jaargang voor circa zeven miljoen euro overgenomen door Lazio. In de Italiaanse hoofdstad tekende hij voor vijf jaar.[2] Na twee seizoenen met minimaal vijfentwintig competitieduels, maar tijdens de eerste helft van de jaargang 2023/24 speelde hij alleen een bekerwedstrijd. Hierop huurde Salernitana hem voor een half jaar.[3]