Logistisk vekst

Den logistiske ligningen er utviklet av den belgiske matematikeren Pierre François Verhulst i 1838 og er gitt av følgende ligning:

Logistisk funksjon for $N_{0}$ =10, K=100, r=0.2. Merk hvordan antall individer nærmer seg miljøbærekapasiteten når tiden går mot uendelig.

.${\frac {dN}{dt}}=rN-aN^{2}=rN\left(1-{\frac {N}{K}}\right)$

Her representerer $N$ antall individer på tidspunktet t, r den iboende vekstraten, a den intraspesifikke konkurransen mellom individene, og $K={\frac {r}{a}}$ bæreevnen til arten N, som representerer maksimalt antall individer som miljøet kan støtte.

Ved å løse ligningen med startbetingelsen $N(0)=N_{0}$ får man

$N(t)={\frac {K}{1+\left({\frac {K}{N_{0}}}-1\right)\exp(-rt)}}.$

Grenseverdien når tiden går mot uendelig er gitt ved :

$\lim _{t\to \infty }N=\quad \lim _{t\to \infty }{\frac {K}{1+\left({\frac {K}{N_{0}}}-1\right)\exp(-rt)}}={\frac {K}{1}}=K,$

Så antall individer går mot miljøbærekapasitet K i det lange løp (når tiden går mot uendelig).