Automatización e implementación de algunos problemas algebráicos y geométricos

Resumen

En esta tesis doctoral se estudian varios problemas geométricos clásicos: 1. Automatización e implementación del grupo equiforme de transformaciones geometncas de R 2 2 2. Simulación de los 17 grupos de simetría de R , a través de la generación constructiva de mosaicos periódicos. 3. Simulación de la transformación geométrica "Inversión" y su aplicación a la automatización e implementación del problema de Apolonio (de la circunferencia tangente a otras tres dadas). 4. Aplicación de métodos algebraicos (método de las bases de Groebner y método de seudodivisiones de Wu) a la automatización de un criterio de no-ramificación de ideales primos en extensiones algebraicas y a la demostración automática de un teorema original de Geometría Sintética. El objetivo de los tres primeros es efectuar una adaptación de estos problemas geométricos, construyendo algoritmos apropiados que permitan automatizar su utilización, llegando a su implementación. Y el objetivo del cuarto, es aplicar métodos algebraicos de demostración automática a probar un teorema geométrico de penosa demostración por métodos tradicionales y a automatizar la aplicación de un criterio original de no-ramificación. La naturaleza de los tres primeros problemas induce a utilizar técnicas de Geometría Vectorial, lo que justifica que la implementación convenga realizarla en un lenguaje que disponga de la denominada "Geometría de la Tortuga". Como ninguna de las implantaciones usuales posee todos los requerimientos deseados, se ha desarrollado una adaptación apropiada denominada "Turtgeom", que permite mejorar notablemente la graficación de las simulaciones citadas. Para el cuarto problema se ha de utilizar algún sistema de cómputo algebraico que contenga implementaciones de "bases de Groebner", habiendo optado por los sistemas Maple y Reduce. El trabajo desarrollado en ella se inició con el Proyecto de Investigación "Simulación Informática de Problemas Algebraicos y Geométricos" (UCP40/87). A B S T R A C T In this Thesis we deal with several classic geometric problems: 1. Implementation of the Equiform Group of geometric transformations in IR . 2. Simulation of the 17 Wallpaper Patterns, with constructive generation of periodic mosaics. 3. Simulation of the geometric transformation "Inversión" and its application to the implementation of the Apollonius problem (to determine the tangent circumferences to three other ones given). 4. Application of algebraic methods (Groebner's basis and Wu's pseudoremainder) to an algebraic problem and a geometric problem. The algebraic problem consists of verifying a criterium of no-ramification of prime ideáis in algebraic extensions and the geometric one consists of the automatic proving of an original theorem of Synthetic Geometry. The main objective of the first three problems is to do an adaptation of these geometric problems, building the appropriate algorithms that will allow us to implementat the former. The objective of the fourth problem is applying algebraic methods of automatic theorem proving in order to prove a geometric theorem that is really time-consuming using traditional methods. The application of an original criterium of no-ramification is also implemented. The nature of the first three problems lead us to use techniques of Vectorial Geometry. Something that justifies the use of a language that includes the so called "Turtle Geometry". As none of the usual implementations has all the necessary requirements, an appropriate implementation called "Turtgeom" has been developed. It allows us to improve the graphics of the mentioned simulation remarkably. For the fourth problem a Computer Algebra System that includes an implementation of Groebner Basis should be used. Therefore, we have chosen the MAPLE and REDUCE systems. The work developed in this Thesis was begun with a Research Project entitled "Computer Simulation of Algebraic and Geometric Problems" (UCP 40/87).