Elipsoida dla a=4, b=2, c=1 Elipsoida – powierzchnia , której wszystkie przekroje płaskie są elipsami . Czasem tym słowem oznacza się też bryłę ograniczoną tą powierzchnią. Szczególnym przypadkiem elipsoidy jest elipsoida obrotowa , czyli powierzchnia ograniczona powstała przez obrót elipsy wokół własnej osi symetrii.
Równanie elipsoidy o środku symetrii w punkcie
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
,
{\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0}),}
a
,
b
,
c
{\displaystyle a,b,c}
(
x
−
x
0
)
2
a
2
+
(
y
−
y
0
)
2
b
2
+
(
z
−
z
0
)
2
c
2
=
1.
{\displaystyle {\frac {(x-x_{0})^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(y-y_{0})^{2}}{b^{2}}}+{\frac {(z-z_{0})^{2}}{c^{2}}}=1.}
Dla środka w początku układu współrzędnych równanie to przyjmuje postać:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
+
z
2
c
2
=
1.
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1.}
Elipsoida, niezależnie od jej ustawienia w przestrzeni i doboru układu współrzędnych spełnia równanie powierzchni drugiego stopnia[1]
a
11
x
2
+
a
22
y
2
+
a
33
z
2
+
2
a
12
x
y
+
2
a
23
y
z
+
2
a
31
z
x
+
2
a
14
x
+
2
a
24
y
+
2
a
34
z
+
a
44
=
0
,
{\displaystyle a_{11}x^{2}+a_{22}y^{2}+a_{33}z^{2}+2a_{12}xy+2a_{23}yz+2a_{31}zx+2a_{14}x+2a_{24}y+2a_{34}z+a_{44}=0,}
przy czym w celu odróżnienia jej od innych takich powierzchni należy zastosować (przyjmując
a
i
j
=
a
j
i
{\displaystyle a_{ij}=a_{ji}}
Δ
=
|
a
11
a
12
a
13
a
14
a
21
a
22
a
23
a
24
a
31
a
32
a
33
a
34
a
41
a
42
a
43
a
44
|
<
0
{\displaystyle \Delta =\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{matrix}}\right|<0}
oraz
T
=
a
22
a
33
+
a
33
a
11
+
a
11
a
22
−
a
23
2
−
a
31
2
−
a
12
2
>
0.
{\displaystyle T=a_{22}a_{33}+a_{33}a_{11}+a_{11}a_{22}-a_{23}^{2}-a_{31}^{2}-a_{12}^{2}>0.}
W tym samym układzie współrzędnych elipsoida może być opisana również za pomocą równania parametrycznego :
{
x
(
u
,
v
)
=
x
0
+
a
cos
u
cos
v
y
(
u
,
v
)
=
y
0
+
b
sin
v
z
(
u
,
v
)
=
z
0
+
c
sin
u
cos
v
{\displaystyle {\begin{cases}x(u,v)=x_{0}+a\cos u\cos v\\y(u,v)=y_{0}+b\sin v\\z(u,v)=z_{0}+c\sin u\cos v\end{cases}}}
gdzie:
u
∈
[
−
π
,
π
)
,
{\displaystyle u\in [-\pi ,\pi ),}
v
∈
[
−
π
2
,
π
2
]
.
{\displaystyle v\in [-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}].}
W układzie współrzędnych sferycznych elipsoidę opisuje wzór
r
2
(
α
,
β
)
=
a
2
b
2
c
2
a
2
b
2
sin
2
α
cos
2
β
+
a
2
c
2
sin
2
β
+
b
2
c
2
cos
2
α
cos
2
β
{\displaystyle r^{2}(\alpha ,\beta )={\frac {a^{2}b^{2}c^{2}}{a^{2}b^{2}\sin ^{2}\alpha \cos ^{2}\beta +a^{2}c^{2}\sin ^{2}\beta +b^{2}c^{2}\cos ^{2}\alpha \cos ^{2}\beta }}}
Objętość elipsoidy wyraża się wzorem:
V
=
4
3
π
a
b
c
.
{\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi abc.}
Pole powierzchni
Pole powierzchni elipsoidy wyraża się wzorem:
S
=
2
π
(
c
2
+
b
c
2
a
2
−
c
2
F
(
θ
,
m
)
+
b
a
2
−
c
2
E
(
θ
,
m
)
)
,
{\displaystyle S=2\pi \left(c^{2}+{\frac {bc^{2}}{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}}F(\theta ,m)+b{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}E(\theta ,m)\right),}
gdzie:
m
=
a
2
(
b
2
−
c
2
)
b
2
(
a
2
−
c
2
)
,
{\displaystyle m={\frac {a^{2}(b^{2}-c^{2})}{b^{2}(a^{2}-c^{2})}},}
θ
=
arcsin
ε
,
{\displaystyle \theta =\arcsin {\varepsilon },}
ε
=
1
−
c
2
a
2
,
{\displaystyle \varepsilon ={\sqrt {1-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}}},}
a
F
(
θ
,
m
)
{\displaystyle F(\theta ,m)}
E
(
θ
,
m
)
{\displaystyle E(\theta ,m)}
całkami eliptycznymi pierwszego i drugiego rodzaju.
Przypisy
↑ I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew: Matematyka – Poradnik encyklopedyczny . Wyd. 6. Warszawa: PWN, 1976, s. 300.