Continuum (topologia)

Continuum – niepusta przestrzeń topologiczna (w szczególności: metryczna^[1]), która jest zarazem zwarta i spójna. Teoria continuów jest gałęzią topologii zajmującą się studiowaniem własności continuów i odwzorowań między nimi. Continua dzieli się zasadniczo na dwie klasy:

continua rozkładalne, to znaczy continua zawierające właściwe subcontinua (tzn. podprzestrzenie same będące continuami)
continua nierozkładalne, to znaczy continua, które nie są rozkładalne.

Wszystkie lokalnie spójne continua są rozkładalne, podczas gdy wszystkie continua nigdzie lokalnie spójne są nierozkładalne. Continua pojawiają się w sposób naturalny w matematyce, także poza topologią - na przykład, w kontekście rozważań ciągłych przedłużeń funkcji analitycznych na brzeg obszaru, w którym są różniczkowalne.

Historia

Arthur Schoenflies rozważał następujący problem:

Czy brzeg obszaru płaskiego jest zawsze sumą dwu continuów różnych od całości, w sposób analogiczny w jaki dwa łuki składają się na okrąg?^[2].

W 1910 roku Luitzen Egbertus Jan Brouwer skonstruował krzywą, będącą wspólnym brzegiem trzech obszarów składających się na płaszczyznę^[3] (zob. jeziora Wady). Jeziora Wady nie mają takiego rozkładu (jest to, w szczególności, continuum nierozkładalne), a więc jest to kontrprzykład do postawionego problemu Schoenfliesa.

Podstawowe fakty teorii continuów

Każde lokalnie spójne continuum jest łukowo spójne.
Każde jednowymiarowe continuum jest granicą odwrotną grafów. Wśród continuów jednowymiarowych wyróżnia się np. continua drzewopodobne, łukopodobne, okręgopodobne (ang. tree-like, arc-like, circle-like, odpowiednio), które są granicami odwrotnymi drzew, łuków, okręgów itd.
Klasycznymi przykładami nietrywialnych continuów są łuk i pseudołuk. Pseudołuk jest przykładem dziedzicznie nierozkładalnego continuum łukopodobnego, które jest homeomorficzne z każdym swoim nietrywialnym subcontinuum^[4].

Przypisy

↑ Kontinuum, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-28] .
↑ A. Schoenflies. Die Entwickelung der Lehre von den Punktmanningfaltigkeiten, Lipsk 1908.
↑ L.E.J. Brouwer. Zur Analysis Situs, Math. Ann. 68 (1910), ss. 422-434.
↑ E.E. Moise, An indecomposable plane continuum which is homeomorphic to each of its non-degenerate subcontinua, Transactions of the American Mathematical Society 63 (1948), ss. 581–594.

Linki zewnętrzne

JerzyJ. Mioduszewski JerzyJ., Z geometrii głębokiego interioru: kontinua nierozkładalne, „Delta”, marzec 1981, ISSN 0137-3005 [dostęp 2023-08-26] .
Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Continuum, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2022-10-09].
Continuum (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].

[1] Kontinuum, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-28] .

[2] A. Schoenflies. Die Entwickelung der Lehre von den Punktmanningfaltigkeiten, Lipsk 1908.

[3] L.E.J. Brouwer. Zur Analysis Situs, Math. Ann. 68 (1910), ss. 422-434.

[4] E.E. Moise, An indecomposable plane continuum which is homeomorphic to each of its non-degenerate subcontinua, Transactions of the American Mathematical Society 63 (1948), ss. 581–594.

[1]

[2]

[3]

[4]

cechy zdefiniowane w dowolnej przestrzeni topologicznej	zbiór otwarty zbiór domknięty zbiór otwarto-domknięty zbiór brzegowy zbiór spójny spójny drogowo spójny łukowo jednospójny obszar zbiór borelowski zbiór gęsty zbiór nigdziegęsty zbiór wszędzie gęsty zbiór doskonały zbiór dyskretny zbiór zwarty continuum własność punktu stałego
cechy zdefiniowane w przestrzeniach metrycznych	zbiór ograniczony całkowicie ograniczony