Krzywa Kocha

Krzywa Kocha – krzywa fraktalna, którą można zdefiniować jako pewien atraktor IFS lub jako granicę ciągu krzywych opisanych poniżej. Krzywa ta jest nieskończenie długa, mieści się jednak na skończonej powierzchni – można więc narysować pewne jej przybliżenie

Została ona opisana po raz pierwszy w pracy Sur une courbe continue sans tangente obtenue par une construction géométrique élémentaire przez Helgego von Kocha w roku 1904^[1].

Połączenie trzech krzywych przypomina płatek śniegu i nazywane jest płatkiem Kocha (na rysunku obok).

Tworzenie krzywej Kocha

Krzywa Kocha powstaje z odcinka, poprzez podzielenie go na 3 części i zastąpienie środkowej ząbkiem (o ramieniu długości równej 1/3 odcinka) takim, że wraz z usuwaną częścią tworzy trójkąt równoboczny. Krok ten jest powtarzany w nieskończoność, dla każdego fragmentu odcinka.

Krok 0

Krzywa Kocha w kroku zerowym $(k=0)$ jest odcinkiem. Zostanie on podzielony na 3 równe części, a środkową zastąpią dwa odcinki długości ${\tfrac {1}{3}}l,$ nachylone względem niej pod kątem 60°. Wraz z wyciętym fragmentem mogłyby one utworzyć trójkąt równoboczny.

Krok 1

Krzywa Kocha w kroku pierwszym $(k=1),$ po transformacji zawiera 4 odcinki, każdy równy ${\tfrac {1}{3}}l.$ W kolejnym kroku każdy z tych odcinków ponownie zostanie podzielony na 3 części, a środkową znów zastąpimy dwoma odcinkami.

Krok 2

Krzywa Kocha w kroku drugim $(k=2)$ zawiera już 16 odcinków, każdy długości ${\tfrac {1}{9}}l.$ W kolejnym kroku $(k=3)$ powstanie 64 odcinków, każdy długości ${\tfrac {1}{27}}l$ itd.

7 pierwszych kroków algorytmu generującego krzywą Kocha.

Wymiar

Aby obliczyć wymiar pojemnościowy (Kołmogorowa) krzywej Kocha, należy rozpatrzyć $k$ -ty krok konstrukcji. Wtedy istnieje $4^{k}$ odcinków, każdy długości $({\tfrac {1}{3}})^{k}=3^{-k},$ tak więc: