Opisowa teoria mnogości

Opisowa teoria mnogości – poddziedzina teorii mnogości poświęcona badaniom definiowalnych podzbiorów przestrzeni polskich. Rozwinęła się w pierwszej połowie XX wieku na styku teorii funkcji rzeczywistych, topologii, teorii miary i logiki matematycznej.

W klasyfikacji MSC 2000 badań naukowych w matematyce (prowadzonej przez Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne) opisowa teoria mnogości oznaczana jest kodem 03E15.

Klasycznymi źródłami informacji w tej dziedzinie matematyki są monografie Yiannisa Moschovakisa oraz Aleksandra Kechrisa. Z literatury dostępnej w języku polskim należy wymienić monografię Kazimierza Kuratowskiego i Andrzeja Mostowskiego, a także książkę Wojciecha Guzickiego i Pawła Zbierskiego.

Klasy zbiorów punktowych w przestrzeniach polskich

Podstawowymi klasami zbiorów badanych w klasycznej opisowej teorii mnogości są zbiory borelowskie oraz szersza klasa zbiorów rzutowych i ich efektywne wersje. Własności tych klas mogą być interesujące nawet dla matematyków nastawionych na skrajną konstruowalność.

Funkcje rozważane w opisowej teorii mnogości są zwykle mierzalne względem σ-ciała zbiorów borelowskich (czyli są to funkcje borelowskie). Wśród funkcji borelowskich wyróżnia się izomorfizmy borelowskie, czyli bijekcje pomiędzy przestrzeniami polskimi, które są borelowskie i dla których funkcja odwrotna też jest borelowska. Powiązanymi (i badanymi) klasami funkcji są też klasy Baire’a.

Wszystkie doskonałe przestrzenie polskie są borelowsko izomorficzne, co więcej – każda przestrzeń polska jest ciągłym różnowartościowym obrazem domkniętego podzbioru przestrzeni Baire’a ${\mathcal {N}}.$ Często dowody przeprowadza się właśnie w przestrzeni Baire’a ${\mathcal {N}}$ (która jest homeomorficzna z przestrzenią liczb niewymiernych), ale rozważania są też prowadzone w innych doskonałych przestrzeniach polskich i każdą z nich traktuje się jak prostą rzeczywistą. To podejście pozwala zawsze ustalić taką przestrzeń, dla której nasz dowód jest najbardziej elegancki, a jednocześnie pozwala formułować twierdzenia tak, że mówią o najbardziej popularnym obiekcie w matematyce: prostej.

Przypomnijmy definicje klas borelowskich i rzutowych. Niech $X$ będzie przestrzenią polską.

Borelowskie podzbiory $X{:}$

Przez indukcję po liczbach porządkowych $0<\alpha <\omega _{1}$ definiujemy rodziny $\Sigma _{\alpha }^{0}(X)=\Sigma _{\alpha }^{0},$ $\Pi _{\alpha }^{0}(X)=\Pi _{\alpha }^{0}$ oraz $\Delta _{\alpha }^{0}(X)=\Delta _{\alpha }^{0}$ podzbiorów przestrzeni $X{:}$

• $\Sigma _{1}^{0}$ jest rodziną wszystkich otwartych podzbiorów $X,$ $\Pi _{1}^{0},$ to rodzina wszystkich dopełnień zbiorów z $\Sigma _{1}^{0}$ (czyli jest to rodzina zbiorów domkniętych). Ponadto kładziemy $\Delta _{1}^{0}=\Sigma _{1}^{0}\cap \Pi _{1}^{0},$ czyli $\Delta _{1}^{0}$ jest rodziną wszystkich otwarto-domkniętych podzbiorów $X.$
• Przypuśćmy, że zdefiniowaliśmy już $\Sigma _{\beta }^{0},\Pi _{\beta }^{0},\Delta _{\beta }^{0}$ dla $0<\beta <\alpha .$ Określamy:

$\Sigma _{\alpha }^{0}$ jest rodziną wszystkich zbiorów postaci $A=\bigcup \limits _{n=0}^{\infty }A_{n},$ gdzie $A_{n}\in \bigcup \limits _{\beta <\alpha }\Pi _{\beta }^{0}$ (dla wszystkich $n$),

$\Pi _{\alpha }^{0}$ jest rodziną wszystkich zbiorów $A\subseteq X$ takich, że $X\setminus A\in \Sigma _{\alpha }^{0},$

$\Delta _{\alpha }^{0}=\Sigma _{\alpha }^{0}\cap \Pi _{\alpha }^{0}.$

Elementy rodziny $\bigcup _{\alpha <\omega _{1}}\Sigma _{\alpha }^{0}(X)$ nazywamy borelowskimi podzbiorami przestrzeni $X$.

Rzutowe podzbiory $X{:}$

Przez indukcję po liczbach naturalnych $n\in \mathbb {N}$ klasy $\Sigma _{n}^{1}(X)=\Sigma _{n}^{1}$ oraz $\Pi _{n}^{1}(X)=\Pi _{n}^{1}{:}$

• $\Sigma _{1}^{1}$ jest rodziną tych wszystkich podzbiorów $A$ przestrzeni $X,$ że dla pewnego zbioru borelowskiego $B\subseteq X\times {\mathcal {N}}$ mamy $A=\{x\in X:(\exists r\in {\mathcal {N}})((x,r)\in B)\},$
• $\Pi _{1}^{1}$ jest rodziną tych podzbiorów $A$ przestrzeni $X,$ że $X\setminus A\in \Sigma _{1}^{1},$
• $\Sigma _{n+1}^{1}$ jest rodziną tych podzbiorów $A$ przestrzeni $X,$ że dla pewnego $B\in \Pi _{n}^{1}(X\times {\mathcal {N}})$ mamy $A=\{x\in X:(\exists r\in {\mathcal {N}})((x,r)\in B)\},$
• $\Pi _{n+1}^{1}$ jest rodziną tych podzbiorów $A$ przestrzeni $X,$ że $X\setminus A\in \Sigma _{n+1}^{1}.$

Definiujemy również $\Delta _{n}^{1}(X)=\Sigma _{n}^{1}(X)\cap \Pi _{n}^{1}(X).$

Elementy rodziny $\bigcup _{n<\omega }\Sigma _{n}^{1}(X)$ nazywamy rzutowymi podzbiorami przestrzeni $X$.

Wybrane własności klas punktowych

Niech $X$ będzie przestrzenią polską.

• Zachodzą następujące inkluzje (gdzie „$\subseteq$” jest reprezentowane przez strzałkę „$\longrightarrow$”):

$\Sigma _{\alpha }^{0}$

$\Sigma _{\beta }^{0}$

$\nearrow$

$\searrow$

$\nearrow$

$\searrow$

$\Delta _{\alpha }^{0}$

$\Delta _{\beta }^{0}$

$\Delta _{\beta +1}^{0}$

$\searrow$

$\nearrow$

$\searrow$

$\nearrow$

$\Pi _{\alpha }^{0}$

$\Pi _{\beta }^{0}$

   dla wszystkich $\alpha <\beta <\omega _{1}$ oraz

$\Sigma _{1}^{1}$

$\Sigma _{2}^{1}$

$\ldots$

$\Sigma _{n}^{1}$

$\Sigma _{n+1}^{1}$

$\ldots$

$\nearrow$

$\searrow$

$\nearrow$

$\searrow$

$\nearrow$

$\searrow$

$\nearrow$

$\Delta _{1}^{1}$

$\Delta _{2}^{1}$

$\Delta _{3}^{1}$

$\ldots$

$\Delta _{n}^{1}$

$\Delta _{n+1}^{1}$

$\searrow$

$\nearrow$

$\searrow$

$\nearrow$

$\searrow$

$\nearrow$

$\searrow$

$\Pi _{1}^{1}$

$\Pi _{2}^{1}$

$\ldots$

$\Pi _{n}^{1}$

$\Pi _{n+1}^{1}$

$\ldots$

• Jeśli przestrzeń $X$ jest nieprzeliczalna, to wszystkie inkluzje powyżej są właściwe.
• $\Delta _{1}^{1}(X)$ jest rodziną wszystkich borelowskich podzbiorów przestrzeni $X.$ Jest to σ-ciało podzbiorów $X.$
• Ciągły różnowartościowy obraz borelowskiego podzbioru przestrzeni polskiej jest zbiorem borelowskim.
• Każdy zbiór klasy $\Sigma _{2}^{1}$ jest sumą $\aleph _{1}$ zbiorów borelowskich.
• Twierdzenie uniformizacyjne Kondo-Nowikowa: Jeśli $X,Y$ są przestrzeniami polskimi oraz $A\in \Pi _{1}^{1}(X\times Y),$ to można wybrać zbiór $B\in \Pi _{1}^{1}(X\times Y)$ zawarty w $A$ i taki, że dla wszystkich $x\in X$

$(\exists y\in Y)((x,y)\in A)\ \Leftrightarrow \ (\exists !y\in Y)((x,y)\in B).$

(Powyżej kwantyfikator $\exists !$ oznacza istnieje dokładnie jeden).

Regularność klas punktowych

Pytania dotyczące regularności klas punktowych są w centrum zainteresowań opisowej teorii mnogości. Regularność może mieć wiele znaczeń i może odnosić się do mierzalności w sensie Lebesgue’a, własności Baire’a, własności Ramseya, własności zbioru doskonałego i innych własności tego typu. Przykładowe twierdzenia dotyczące tej tematyki to:

• wszystkie zbiory klasy $\Sigma _{1}^{1}$ mają własność Baire’a i są mierzalne w sensie Lebesgue’a,
• każdy zbiór klasy $\Sigma _{1}^{1}$ jest albo przeliczalny, albo zawiera podzbiór doskonały,
• każdy $\Sigma _{1}^{1}$ podzbiór przestrzeni $[\omega ]^{\omega }$ nieskończonych podzbiorów $\omega$ ma własność Ramseya,
• jeśli wszystkie zbiory klasy $\Sigma _{2}^{1}$ są mierzalne, to wszystkie zbiory klasy $\Sigma _{2}^{1}$ mają własność Baire’a,
• jeśli założymy aksjomat determinacji rzutowej PD, to wszystkie zbiory rzutowe mają własność Baire’a i są mierzalne w sensie Lebesgue’a oraz każdy nieprzeliczlany zbiór rzutowy zawiera podzbiór doskonały,
• jeśli założymy aksjomat konstruowalności, to istnieje $\Delta _{2}^{1}$ podzbiór prostej, który nie jest mierzalny w sensie Lebesgue’a i który nie ma własności Baire’a, oraz istnieje nieprzeliczalny zbiór klasy $\Pi _{1}^{1},$ który nie zawiera żadnego podzbioru doskonałego.

Dla szerszego przeglądu tej tematyki odsyłamy czytelnika do monografii Tomka Bartoszyńskiego i Haima Judaha.

Definiowalne relacje równoważności

W ostatnich latach kluczowe badania dotyczą definiowalnych relacji równoważności oraz działań grup (przede wszystkim grup polskich, tzn. grup topologicznych będących przestrzeniami polskimi).

Definicje

Niech $X,Y$ będą przestrzeniami polskimi.

• Relacja $E$ na przestrzeni $X$ jest borelowska (analityczna itd.), jeśli jest ona borelowskim (analitrycznym itd.) podzbiorem przestrzeni $X\times X.$
• Przypuśćmy, że $E$ jest relacją równoważności na $X,$ a $F$ jest relacją równoważności na $Y.$ Powiemy, że relacja $E$ jest borelowsko redukowalna do F, jeśli istnieje funkcja borelowska $f\colon X\longrightarrow Y$ taka, że

${\Big (}\forall x,y\in X{\Big )}{\Big (}x\;E\;y\ \ \Leftrightarrow \ \ f(x)\;F\;f(y){\Big )}.$

W powyższej sytuacji piszemy $E\leqslant _{B}F.$

Relacja borelowskiej redukcji $\leqslant _{B}$ jest konceptualnie bliska pojęciu bycia mocy nie większej niż. Jeśli $E\leqslant _{B}F,$ to mamy „świadka” na nierówność $|X/E|\leqslant |Y/F|,$ który może być „podniesiony” do borelowskiego odwzorowanika z $X$ do $Y.$

• Jeśli $E\leqslant _{B}F$ oraz $F\leqslant _{B}E,$ to powiemy, że przestrzenie ilorazowe $X/E$ i $Y/F$ mają tę samą moc borelowską. Piszemy wówczas $E\sim _{B}F.$

Podstawowe własności

Przy badaniu definiowalnych relacji równoważności utożsamia się każdą przestrzeń polską z relacją równości określonej na tej przestrzeni. Zwyczajowo też używa się symbolu $E_{0}$ na oznaczenie następującej relacji na liczbach rzeczywistych:

$x\;E_{0}\;y$ wtedy i tylko wtedy, gdy różnica $x-y$ jest liczbą wymierną.

• $\mathbb {R} <_{B}E_{0}$ (tzn, $\mathbb {R} \leqslant _{B}E_{0},$ ale $E_{0}\not \leqslant _{B}\mathbb {R}$).
• Jeśli $E$ jest relacją równoważności klasy $\Pi _{1}^{1},$ to

albo $E\leqslant _{B}\mathbb {N}$ lub $\mathbb {R} \leqslant _{B}E$

• Jeśli $E$ jest borelowską relacją równoważności, to

albo $E\leqslant _{B}\mathbb {R}$ lub $E_{0}\leqslant _{B}E$

• Dla każdej borelowskiej relacji równoważności $E$ istnieje borelowska relacja równoważności $F$ taka, że $E<_{B}F.$
• Wśród borelowskich relacji równoważności o przeliczalnych klasach abstrakcji istnieje element $\leqslant _{B}$-największy. W tej samej rodzinie relacji można wybrać nieprzeliczalnie wiele parami $\leqslant _{B}$-nieporównywalnych relacji.

Zobacz też

• gry nieskończone
• uniwersum konstruowalne
• zbiory analityczne
• zbiór typu F-sigma
• zbiór typu G-delta

Linki zewnętrzne

• Descriptive set theory (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].