Szereg Dirichleta

Szereg Dirichleta jest dowolnym szeregiem postaci

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}},$

gdzie: $s$ należy do zbioru liczb zespolonych oraz $a$ jest ciągiem o wartościach zespolonych. Jest to szczególny przypadek ogólnego szeregu Dirichleta.

Szerg Dirichleta odgrywa ważną rolę w analitycznej teorii liczb. Najczęściej spotykana definicja funkcji dzeta Riemanna jest szeregiem Dirichleta, podobnie jak L-funkcje Dirichleta. Przypuszcza się, że klasa Selberga szeregu zachowuje się zgodnie z Uogólnioną Hipotezą Riemanna. Szereg jest nazwany ku czci Petera Gustava Lejeune’a Dirichleta.

Zastosowanie w kombinatoryce

Szereg Dirichleta może zostać wykorzystany jako funkcja tworząca do zliczania ważonych zbiorów obiektów z uwzględnieniem wag.

Załóżmy, że $A$ jest zbiorem z funkcją $w\colon A\to \mathbf {N}$ przypisującą wagę każdemu elementowi $A,$ załóżmy także, że włóknem nad każdą liczbą naturalną w tej wadze jest zbiór skończony. Nazwijmy taką parę $(A,w)$ zbiorem ważonym. Załóżmy dodatkowo, że $a_{n}$ jest liczbą elementów $A$ o wadze $n.$ Wówczas możemy zdefiniować formalny szereg Dirichleta będący funkcją tworzącą dla $A,$ z uwzględnieniem $w,$ w następujący sposób:

${\mathfrak {D}}_{w}^{A}(s)=\sum _{a\in A}{\frac {1}{w(a)^{s}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}.$

Zauważmy, że jeśli $A$ i $B$ są rozłącznymi podzbiorami pewnego zbioru ważonego $(U,w),$ to szereg Dirichleta dla ich sumy mnogościowej jest równy sumie ich szeregów Dirichleta:

${\mathfrak {D}}_{w}^{A\uplus B}(s)={\mathfrak {D}}_{w}^{A}(s)+{\mathfrak {D}}_{w}^{B}(s).$

Ponadto, jeśli $(A,u)$ i $(B,v)$ są dwoma zbiorami ważonymi i zdefiniujemy funkcję wagi $w\colon A\times B\to \mathbf {N}$ jako

$w(a,b)=u(a)v(b),$

dla każdego $a$ należącego do $A$ i dla każdego $b$ należącego do $B,$ otrzymamy następujący rozkład szeregu Dirichleta z iloczynu kartezjańskiego:

${\mathfrak {D}}_{w}^{A\times B}(s)={\mathfrak {D}}_{u}^{A}(s)\cdot {\mathfrak {D}}_{v}^{B}(s).$

Wynika to bezpośrednio z faktu, że $n^{-s}\cdot m^{-s}=(nm)^{-s}.$

Bibliografia

• Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929, Zbl 0335.10001
• Hardy, G.H.; Riesz, Marcel (1915). The general theory of Dirichlet’s series. Cambridge Tracts in Mathematics Cambridge University Press.
• The general theory of Dirichlet’s series by G. H. Hardy. Cornell University Library Historical Math Monographs. {Wznowienie} Cornell University Library Digital Collections
• Gould, Henry W.; Shonhiwa, Temba (2008). A catalogue of interesting Dirichlet series. Miss. J. Math.
• Mathar, Richard J. (2011). Survey of Dirichlet series of multiplicative arithmetic functions. arXiv:1106.4038 math.NT.
• Tenenbaum, Gérald (1995). Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics Cambridge University Press. ISBN 0-521-41261-7. Zbl 0831.11001.

Linki zewnętrzne

• Dirichlet series na stronie PlanetMath.org.