Potencjał wektorowy

Potencjał wektorowy pola wektorowego – pojęcie w analizie wektorowej sformułowane w analogii do pojęcia potencjału skalarnego. Przykładem potencjału wektorowego jest potencjał magnetyczny w elektrodynamice klasycznej.

Potencjałem wektorowym pola $\mathbf {B}$ nazywamy taką funkcję $\mathbf {A}$ (również będącą polem wektorowym), której rotacja jest tożsama z polem $\mathbf {B}$.

$\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} .$

Definicja ta nie określa funkcji $\mathbf {A}$ jednoznacznie, z uwagi na liniowość operatora rotacji i fakt, że rotacja gradientu pola skalarnego jest zerowa. W konsekwencji, dla dowolnego pola skalarnego $f,$ różniczkowalnego w sposób ciągły, zachodzi równość

$\nabla \times \mathbf {A} =\nabla \times (\mathbf {A} +\nabla f).$

Potencjał wektorowy można wprowadzić tylko dla pola bezźródłowego (o zerowej dywergencji), co zdeterminowane jest przez tożsamość

$\nabla \cdot \nabla \times \mathbf {A} =0.$

Jeżeli pole $\mathbf {B}$ jest bezźródłowe, a do tego znika w nieskończoności, to jego potencjał wektorowy $\mathbf {A}$ określony jest całką po całej przestrzeni $V$

$\mathbf {A} =\int _{V}{\frac {\nabla \times \mathbf {B} }{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}d^{3}\mathbf {r} ',$

zgodnie z twierdzeniem Helmholtza.