Przestrzeń Schwartza

Przestrzeń Schwartza ${\mathcal {S}}$ – w analizie harmonicznej jest to przestrzeń funkcyjna wszystkich funkcji o szybko malejących pochodnych. Tak określona przestrzeń ma ważną własność – transformata Fouriera jest automorfizmem na tej przestrzeni. Umożliwia to zdefiniowanie transformaty Fouriera dla elementów w przestrzeni do niej sprzężonej ${\mathcal {S}}^{*},$ czyli dla dystrybucji temperowanych. Funkcje z przestrzeni Schwartza są czasami nazywane funkcjami Schwartza.

Dwuwymiarowa funkcja gaussowska jest przykładem szybko malejącej funkcji.

Przestrzeń Schwartza została nazwana na cześć francuskiego matematyka Laurenta Schwartza.

Motywacja

Ideą stojącą za przestrzeniami Schwartza jest stworzenie zbioru wszystkich funkcji gładkich w $\mathbb {R} ^{n},$ których pochodne szybko maleją do zera. Możemy tego dokonać przez rozważenie wszystkich możliwych pochodnych cząstkowych $D^{\alpha }f=\partial _{x_{1}}^{\alpha _{1}}\ldots \partial _{x_{n}}^{\alpha _{n}}f$ (gdzie $\alpha$ oznacza wielowskaźnik) na gładkiej funkcji o wartościach zespolonych $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C}$ i wzięcie supremum wszystkich możliwych wartości $D^{\alpha }f$ pomnożonych przez dowolny jednomian $x^{\beta }$ i żądając, aby supremum było ograniczone. Ściślej możemy zapisać to w postaci:

\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}|x^{\beta }D^{\alpha }f|<\infty .

Warto zwrócić uwagę, że gdybyśmy wymagali tylko ograniczenia pochodnych, to znaczy:

\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}|D^{\alpha }f|<\infty ,

wynikałoby z tego, że wszystkie możliwe pochodne funkcji gładkiej muszą być ograniczone pewną stałą $c_{\alpha },$ czyli:

\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}|D^{\alpha }f|=c_{\alpha }<\infty .

Na przykład dla gładkiej funkcji o wartościach zespolonych $f\in C^{\infty }(\mathbb {R} )$ danej wzorem $f(x)=x^{2}$ mamy $D^{1}f(x)=2x,$ co jest funkcją nieograniczoną, więc żaden wielomian nie należy do tej przestrzeni. Jeżeli jednak dodatkowo będziemy wymagać pierwotnej nierówności (tj. z jednomianem $x^{\beta }$ ), to wynik ten jest jeszcze silniejszy, ponieważ implikuje nierówność

D^{\alpha }f<{\frac {k_{\alpha ,\beta }}{x^{\beta }}}

dla każdego

\beta

i pewnych stałych

k_{\alpha ,\beta },

gdyż

x^{\beta }\cdot D^{\alpha }f<x^{\beta }\cdot {\frac {k_{\alpha ,\beta }}{x^{\beta }}}=k_{\alpha ,\beta }.

Świadczy to o tym, że tempo wzrostu wszystkich pochodnych funkcji $f$ musi być znacznie mniejsze niż odwrotność dowolnego jednomianu.

Definicja

Niech $\mathbb {N}$ będzie zbiorem liczb naturalnych (z zerem) i ustalmy $n\in \mathbb {N} .$ Przestrzeń Schwartza lub inaczej przestrzeń funkcji szybko malejących na $\mathbb {R} ^{n}$ jest przestrzenią funkcji:

S\left(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} \right):=\left\{f\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} )\mid \forall \alpha ,\beta \in \mathbb {N} ^{n},\|f\|_{\alpha ,\beta }<\infty \right\},

gdzie $C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} )$ jest przestrzenią funkcji gładkich z $\mathbb {R} ^{n}$ do $\mathbb {C} ,$ a do tego:

\|f\|_{\alpha ,\beta }:=\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left|x^{\alpha }(D^{\beta }f)(x)\right|.

Przykłady funkcji z przestrzeni Schwartza

Jeśli $\alpha$ jest wielowskaźnikiem, a $a$ jest dodatnią liczbą rzeczywistą, to

x^{\alpha }e^{-a|x|^{2}}\in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n}).

Każda funkcja gładka $f$ o zwartym nośniku należy do ${\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right).$ Jest to oczywiste, ponieważ każda pochodna $f$ jest ciągła i ma ten sam, zwarty nośnik co $f,$ więc $\left|x^{\beta }D^{\alpha }f\right|$ ma maksimum na $\mathbb {R} ^{n},$ gdyż każda funkcja ciągła na zbiorze zwartym przyjmuje swoje maksimum.
Ponieważ przestrzeń Schwartza jest przestrzenią liniową, dowolny wielomian $\phi (x^{\alpha })$ można pomnożyć przez współczynnik $e^{-ax^{2}}$ dla dowolnej stałej $a>0,$ aby otrzymać element przestrzeni Schwartza. W szczególności istnieje zanurzenie przestrzeni wielomianów na $\mathbb {R} ^{n}$ w przestrzeni Schwartza.

Własności

Własności analityczne

Ze wzoru Leibniza wynika, że ${\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$ jest zamknięte na mnożenie punktowe – jeśli $f,g\in {\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$ to także iloczyn $fg\in {\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right).$

Transformacja Fouriera zadaje liniowy izomorfizm ${\mathcal {F}}\colon {\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)\to {\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right).$

Jeśli $f\in {\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right),$ to $f$ jest jednostajnie ciągła na $\mathbb {R} .$

Związek przestrzeni Schwartza z innymi przestrzeniami liniowo-topologicznymi

Jeśli $1\leqslant p\leqslant \infty ,$ to ${\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)\subseteq L^{p}\left(\mathbb {R} ^{n}\right).$
Jeśli $1\leqslant p<\infty ,$ to ${\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$ jest gęsty w $L^{p}\left(\mathbb {R} ^{n}\right).$
Przestrzeń wszystkich funkcji gładkich o nośniku zwartym ${\mathcal {C}}_{c}^{\infty }\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$ jest zawarta w ${\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right),$ a nawet jej gęstym podzbiorem.

Bibliografia

L. Hörmander: The Analysis of Linear Partial Differential Operators I (Distribution theory and Fourier Analysis). Wyd. 2nd. Berlin: Springer-Verlag, 1990. ISBN 3-540-52343-X.
M. Reed, B. Simon: Methods of Modern Mathematical Physics: Functional Analysis I. Wyd. Revised and enlarged. San Diego: Academic Press, 1980. ISBN 0-12-585050-6.
Elias M. Stein, Rami Shakarchi: Fourier Analysis: An Introduction (Princeton Lectures in Analysis I). Princeton: Princeton University Press, 2003. ISBN 0-691-11384-X.