Rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych

Rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych: (a) rozszerzenie dwupunktowe (afiniczne), (b) rozszerzenie jednopunktowe (rzutowe); kolorem czerwonym określono liczby dodatnie, niebieskim – ujemne, żółtym – dodane „punkty nieskończone”

Rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych – zbiór liczb rzeczywistych z dołączonym jednym lub dwoma „elementami nieskończonymi”, pierwsze z tych rozszerzeń nazywane jest jednopunktowym bądź rzutowym, drugie z kolei dwupunktowym lub afinicznym.

Rozszerzony na jeden ze wspomnianych sposobów zbiór liczb rzeczywistych staje się zwartą przestrzenią topologiczną (rozszerzenia dają różne topologie), co znajduje zastosowanie przede wszystkim w analizie matematycznej i teorii miary. Przede wszystkim pozwala na rozszerzenie niektórych funkcji na cały zbiór liczb rzeczywistych, przy czym niektóre z nich, dotąd nieciągłe, mogą być wtedy uważane za ciągłe (zob. niżej) oraz co ułatwia spójne traktowanie różnych przypadków, upraszczając w ten sposób sformułowania twierdzeń i dowodów. Niepełnemu rozszerzeniu podlegają również niektóre działania (operacje) na „elementy nieskończone” – niepełnemu, gdyż dołączane elementy nie mogą być uważane za liczby, a rozszerzone zbiory liczb rzeczywistych nie są ciałami liczbowymi.

Rozszerzenie afiniczne

Zbiór liczb rzeczywistych $\mathbb {R}$ rozszerzony o dwa „punkty nieskończone” $-\infty$ i $+\infty$ oznacza się zwykle symbolami ${\overline {\mathbb {R} }}$ lub $[-\infty ,+\infty ]$ i nazywa rozszerzeniem dwupunktowym bądź afinicznym liczb rzeczywistych (prostej rzeczywistej). Niżej symbol $\pm \infty$ będzie oznaczał dowolne z wyrażeń $+\infty$ bądź $-\infty ,$ w szczególności w tejże kolejności, gdy stosowany jest symbol $\mp \infty$ w którym kolejność symboli jest odwrotna (wykorzystane razem symbole te powinny być wtedy uważane za różnych znaków). Często dla skrócenia zapisu symbol $+\infty$ zastępuje się symbolem $\infty ,$ należy jednak zaznaczyć, iż różni się on istotnie od symbolu $\infty$ opisanego dalej. Rozszerzenie afiniczne prostej nie jest przestrzenią afiniczną.

Rozszerzony afinicznie zbiór liczb rzeczywistych jest podstawą implementacji komputerowych systemów przekształcania wyrażeń i obliczeń symbolicznych.

Porządek i topologia

W zbiorze ${\overline {\mathbb {R} }}$ zachowana zostaje relacja porządku liniowego, a dla dowolnego elementu $a\in \mathbb {R}$ zachodzi $-\infty <a<+\infty .$ Ponadto każdy niepusty podzbiór tego zbioru ma w zbiorze ${\overline {\mathbb {R} }}$ (w przeciwieństwie do $\mathbb {R}$) kres dolny i górny, co sprawia, że rozszerzony afinicznie zbiór liczb rzeczywistych staje się kratą zupełną.

Topologia wprowadzona przez relacje porządkującą $<$ w zbiorze ${\overline {\mathbb {R} }}$ pozwala w szczególności na określenie otoczeń punktów w nieskończoności:

zbiór $U$ jest otoczeniem punktu $+\infty$ wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera on zbiór $\{x\colon a<x\}$ dla pewnej liczby $a\in \mathbb {R} .$

Analogicznie

zbiór $V$ nazywa się otoczeniem punktu $-\infty$ wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera on zbiór $\{x\colon x<a\}$ dla pewnej liczby $a\in \mathbb {R} .$

Wspomniana topologia sprawia, że ${\overline {\mathbb {R} }}$ jest zwartą przestrzenią Hausdorffa homeomorficzną z domkniętym przedziałem jednostkowym $[0,1].$ Wspomniana przestrzeń jest metryzowalna.

Działania arytmetyczne

Działania arytmetyczne w zbiorze ${\overline {\mathbb {R} }}$ rozszerza się w następujący sposób:

$-(+\infty )=-\infty ,$

$-(-\infty )=+\infty ,$

$c+(+\infty )=+\infty +c=+\infty$ dla $c\neq -\infty ,$

$c+(-\infty )=-\infty +c=-\infty$ dla $c\neq +\infty ,$

$c\cdot (\pm \infty )=\pm \infty \cdot c=\pm \infty$ dla $c>0,$

$c\cdot (\pm \infty )=\pm \infty \cdot c=\mp \infty$ dla $c<0,$

${\tfrac {c}{\pm \infty }}=0$ dla $c\neq \pm \infty ,$

$|{\tfrac {c}{0}}|=+\infty$ dla $c\neq 0.$

Uzasadnieniem tych definicji są odpowiednie przejścia graniczne. Wyrażenia $-\infty +(+\infty ),\;+\infty +(-\infty )$ oraz $0/0$ pozostają niezdefiniowane, podobnie jak $0\cdot (\pm \infty )$ i $(\pm \infty )\cdot 0$ (patrz symbol nieoznaczony), choć dwa ostatnie wyrażenia w teorii miary (oraz korzystającej z niej teorii prawdopodobieństwa) definiowane są jako równe 0.

Prawdziwe pozostają prawa działań arytmetycznych, pod warunkiem jednak, że wszystkie występujące w nich wyrażenia są określone. To ostatnie zastrzeżenie sprawia, że zbiór ${\overline {\mathbb {R} }}$ nie jest ciałem ani nawet pierścieniem.

Funkcje, granice, ciągłość

Na zbiór ${\overline {\mathbb {R} }}$ można rozszerzyć wiele funkcji. Przykładem może być funkcję potęgową $f(x,y)=x^{y},$ gdzie korzystając z odpowiednich granic, przyjmuje się następujące definicje:

${\begin{aligned}(+\infty )^{y}&={\begin{cases}0&{\text{ dla }}y<0,\\{+\infty }&{\text{ dla }}y>0,\end{cases}}\\[.5em]x^{+\infty }&={\begin{cases}0&{\text{ dla }}0<x<1,\\{+\infty }&{\text{ dla }}x>1,\end{cases}}\\[.5em]x^{-\infty }&={\begin{cases}+\infty &{\text{ dla }}0<x<1,\\0&{\text{ dla }}x>1.\end{cases}}\end{aligned}}$

W podobny sposób można rozszerzać wiele innych funkcji (zwykle nawet do funkcji ciągłych), np. funkcję wykładniczą $\exp ,$ logarytmiczną $\ln ,$ czy tangens $\operatorname {tg}$ itp., co upraszcza dowody wielu twierdzeń i stanowi główną motywację dla rozpatrywania rozszerzeń zbioru liczb rzeczywistych.

Rozszerzenie rzutowe

Rzeczywista prosta rzutowa może być postrzegana jako prosta, której „końce” łączą się w nieskończoności, tworząc okrąg.

Zbiór liczb rzeczywistych z dodanym jednym „punktem w nieskończoności” $\infty$ (bez znaku) nazywane jest rozszerzeniem jednopunktowym bądź rzutowym liczb rzeczywistych (prostej rzeczywistej) i oznaczane jest najczęściej symbolem $\mathbb {R} ^{*}.$ Uzwarcenie to jest minimalne i nosi ono nazwę uzwarcenia Aleksandrowa. Rozszerzenie to jest prostą rzutową (jednowymiarową przestrzenią rzutową), gdyż jego punkty są we wzajemnie jednoznacznej odpowiedniości z jednowymiarowymi podprzestrzeniami liniowymi płaszczyzny $\mathbb {R} ^{2};$ z tego powodu konstrukcję tę nazywa się też rzeczywistą prostą rzutową i oznacza $\mathbb {R} \mathrm {P} ^{1}.$

Symbol $\infty$ reprezentuje „punkt w nieskończoności”, w którym zbiegają się oba „końce” rzeczywistej osi liczbowej. Analogiem zespolonym tego rozszerzenia jest konstrukcja sfery Riemanna rozszerzającej zbiór liczb zespolonych przez uzupełnienie jej pojedynczym punktem w nieskończoności, którą nazywa się również zespoloną prostą rzutową i oznacza $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}.$

Geometria

Oprócz faktu, iż $\infty$ jest pełnoprawnym punktem tej przestrzeni, kluczową ideą rzeczywistej prostej rzutowej jest to, że jest ona przestrzenią jednorodną homeomorficzną z okręgiem. Przykładowo ogólna grupa liniowa odwracalnych macierzy typu 2×2 działa na niej przechodnio. Działanie grupy można opisać również za pomocą przekształceń Möbiusa, w których argumenty zerujące się w mianowniku przyjmują w obrazie $\infty .$

Dokładniejsze przyjrzenie się temu działaniu pokazuje, że dla dowolnych trzech punktów $P,Q,R$ istnieje przekształcenie homograficzne odwzorowujące te punkty odpowiednio na $0,1,\infty .$ Obserwacji tej nie można rozszerzyć na czwórki punktów z powodu niezmienniczości dwustosunku.

Porządek i topologia

Zbiór $\mathbb {R} ^{*}$ jest homeomorficzny z okręgiem (por. rysunek), dlatego niemożliwe jest rozszerzenie relacji porządku na cały zbiór $\mathbb {R} ^{*},$ tzn. dla dowolnego $x\in \mathbb {R} ^{*}$ nie można powiedzieć ani, że $x<\infty ,$ ani też że $x>\infty .$ Jednak relacja porządku $<$ w zbiorze $\mathbb {R}$ jest stosowana w niektórych definicjach obiektów w zbiorze $\mathbb {R} ^{*}.$

Pojęcie przedziału można rozszerzyć na zbiór $\mathbb {R} ^{*},$ jednak ponieważ relacja porządku nie obejmuje punktu $\infty ,$ to przedziały muszą być zdefiniowane w nieco inny sposób niż w zbiorze liczb rzeczywistych $\mathbb {R} .$ Dla dowolnych $a,b\in \mathbb {R} ,$ przy czym $a<b,$ przyjmuje się następujące definicje przedziałów domkniętych:

$[a,a]=\{a\},$

$[a,b]=\{x\colon x\in \mathbb {R} ,;a\leqslant x\leqslant b\},$

$[a,\infty ]=\{x\colon x\in R,\;a\leqslant x\}\cup \{\infty \},$

$[b,a]=\{x\colon x\in \mathbb {R} ,;b\leqslant x\}\cup \{\infty \}\cup \{x\colon x\in \mathbb {R} ,\;x\leqslant a\},$

$[\infty ,a]=\{\infty \}\cup \{x\colon x\in \mathbb {R} ,\;x\leqslant a\},$

$[\infty ,\infty ]=\{\infty \}.$

Analogicznie definiuje się przedziały otwartych i półotwartych. Na przedziałach można także określić operacje arytmetyczne – w szczególności dla każdych dwóch punktów $a,b\in \mathbb {R} ^{*}$ można przyjąć

$x\in [a,b]\Leftrightarrow {\tfrac {1}{x}}\in \left[{\tfrac {1}{b}},{\tfrac {1}{a}}\right]$

nawet wtedy, gdy przedziały zawierają 0.

Przedziały otwarte stanowią bazę topologii zbioru $\mathbb {R} ^{*}.$ W topologii tej zbiór $\mathbb {R} ^{*}$ jest przestrzenią zwartą, homeomorficzną z okręgiem. Jest to zatem przestrzeń metryzowalna, a odpowiednie metryki odpowiadają metrykom okręgu. Nie istnieje w $\mathbb {R} ^{*}$ taka metryka, która byłaby rozszerzeniem standardowej metryki zbioru $\mathbb {R} ,$ tzn. metryki euklidesowej.

Działania arytmetyczne

Rozszerzenie operacji arytmetycznych na cały zbiór $\mathbb {R} ^{*}$ można przeprowadzić tylko dla niektórych z nich – są one umotywowane odpowiednimi własnościami granic funkcji rzeczywistych:

$-(\infty )=\infty ,$

$c+\infty =\infty +c=\infty$ dla $c\neq \infty ,$

$c\cdot \infty =\infty \cdot c=\infty$ dla $c\neq 0,$

${\tfrac {c}{\infty }}=0$ dla $c\neq \infty ,$

${\tfrac {c}{0}}=\infty$ dla $c\neq 0.$

Należy zaznaczyć, że ostatnia operacja jest nieokreślona w zbiorze ${\overline {\mathbb {R} }}.$

Działania $\infty /\infty ,\;0/0,\;\infty +\infty$ oraz $0\cdot \infty$ są w zbiorze $\mathbb {R} ^{*}$ nieokreślone. Prawa działań arytmetycznych pozostają prawdziwe w zbiorze $\mathbb {R} ^{*},$ o ile wszystkie występujące w nich wyrażenia są określone.

Funkcje, granice, ciągłość

Opierając się na rozszerzonych w opisany wyżej sposób definicjach przedziałów, można określić pojęcia granicy i ciągłości funkcji na całym zbiorze $\mathbb {R} ^{*}.$

W zbiorze $\mathbb {R} ^{*}$ funkcje wykładnicza $\exp$ i logarytmiczna $\ln$ są nieciągłe w punkcie $\infty ,$ natomiast można wykazać, że funkcje wymierne $P(x)/Q(x),$ gdzie $P(x)$ i $Q(x)$ są funkcjami wielomianowymi niemającymi wspólnego czynnika, są ciągłe w zbiorze $\mathbb {R} ^{*},$ w szczególności ciągła jest funkcja homograficzna $h(x)=1/x,$ podobnie ciągła jest funkcja tangensa $\operatorname {tg} ,$ jeżeli przyjąć definicję:

$\operatorname {tg} \left({\tfrac {\pi }{2}}+k\pi \right)=\infty .$

Porównanie

Funkcja homograficzna $h(x)=1/x$ nie jest ciągła w zbiorze ${\overline {\mathbb {R} }},$ gdyż jej wartości dążą do $+\infty$ dla $x\to 0^{+},$ podczas gdy $x\to 0^{-},$ to dążą one do $-\infty .$ Utożsamiając w zbiorze ${\overline {\mathbb {R} }}$ symbole $+\infty$ oraz $-\infty ,$ uzyskuje się zbiór $\mathbb {R} ^{*}.$ W ten sposób funkcja $h(x)$ może być uznana za ciągłą w całym zbiorze $\mathbb {R} ^{*}.$ Podobna sytuacja dotyczy wszystkich funkcji wymiernych. Z drugiej strony wyrażenia

$L_{1}=\lim _{x\to -\infty }~f(x)$

oraz

$L_{2}=\lim _{x\to +\infty }~f(x)$

w zbiorze $\mathbb {R} ^{*}$ są w istocie jedynie granicami jednostronnymi, zaś granica funkcji $f(x)$ w punkcie $x=\infty$ istnieje tylko wtedy, gdy $L_{1}=L_{2}.$ W zbiorze ${\overline {\mathbb {R} }}$ każde z nich musi być uważane za granicę rozważaną w innym punkcie. Z tego powodu funkcje takie, jak $\exp ,$ czy $\operatorname {arctg}$ można uznać za funkcje ciągłe na całym zbiorze ${\overline {\mathbb {R} }},$ nie można ich natomiast określić w sposób ciągły na całym zbiorze $\mathbb {R} ^{*}.$

Zobacz też

• dzielenie przez zero
• granica
• nieskończoność
• sfera Riemanna
• symbol nieoznaczony

Bibliografia

• William Feller: Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa. Wyd. 2. T. 2. Warszawa: PWN, 1978, s. 103 i nast.
• Krzysztof Maurin: Analiza. Wyd. 2. Cz. 2: Ogólne struktury, funkcje algebraiczne, całkowanie, analiza tensorowa. Warszawa: PWN, 1991, s. 386. ISBN 83-01-09941-0.
• Walter Rudin: Analiza rzeczywista i zespolona. Warszawa: PWN, 1986, s. 15. ISBN 83-01-05124-8.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Projectively Extended Real Numbers, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-14]  (ang.). – rozszerzenie jednopunktowe
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Affinitely Extended Real Numbers, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-14]  (ang.). – rozszerzenie dwupunktowe