Mostrar código-fonte de Teorema de Euclides

O '''teorema de Euclides''' é um resultado fundamental estabelecido em [[teoria de números]] que garante a existência de uma [[conjunto infinito|infinidade]] de [[número primo|números primos]].

{{Quotation|O conjunto formado pelos números primos é infinito.}}

Existem várias demonstrações bem conhecidas desse [[teorema]].

== A demonstração de Euclides ==
[[Imagem:Euclid statue, Oxford University Museum of Natural History, UK - 20080315.jpg|thumb|direita|200px|Euclides de Alexandria: "Há mais números primos do que qualquer quantidade proposta de números primos."]]
[[Euclides]] ofereceu uma demonstração em sua obra [[Os Elementos]] (Livro IX, Proposição 20),<ref>James Williamson (translator and commentator), ''The Elements of Euclid, With Dissertations'', Clarendon Press, Oxford, 1782, page 63.</ref> demonstração aqui [[Paráfrase|parafraseada]]:

Tomando-se <math>L,</math> uma lista finita qualquer de números primos: <math>L=\left\{p_1, p_2, p_3, ... , p_n \right\}</math>

Pode-se mostrar que existem números primos que não estão nessa lista. Da seguinte maneira:

Sendo <math>P</math> o produto de todos os números primos na lista: <math>P=p_1 \times p_2 \times p_3 \times ... \times p_n</math>

E sendo <math>q=P+1</math>

Então, <math>q</math> pode ser primo ou não:

* Se ''q'' é primo então há pelo menos um número primo a mais que não está listado.
* Se ''q'' não é primo, então algum [[fator primo]] ''p'' divide&nbsp;''q''. Esse fator ''p'' não está na nossa lista ''L'': se estivesse, ele dividiria ''P'' (pois ''P'' é o produto de todos os número na lista); mas como sabemos, ''p'' divide ''P''&nbsp;+&nbsp;1&nbsp;=&nbsp;''q''. Então, para não deixar resto, ''p'' teria que dividir a diferença entre os dois números, que é (''P''&nbsp;+&nbsp;1)&nbsp;&minus;&nbsp;''P'' ou seja,&nbsp;1. Mas não existe número primo que divida 1, assim haveria uma contradição, logo, ''p'' não pode estar na lista. Isso significa que pelo menos mais um número primo existe além dos que estão na lista.

Isso prova que para ''qualquer'' lista finita de números primos, há um número primo que não está na lista. Portanto, existem infinitos números primos.

É muitas vezes erroneamente relatado que Euclides provou esse resultado por [[Prova por contradição|contradição]], iniciando pela suposição de que o conjunto inicialmente considerado contém todos os números primos, ou que contém precisamente os ''n'' menores primos, ao invés de qualquer [[conjunto finito]] arbitrário de números primos.<ref>Michael Hardy and Catherine Woodgold, "Prime Simplicity", ''Mathematical Intelligencer'', volume 31, number 4, fall 2009, pages 44&ndash;52.</ref>

== Demonstração por contradição ==
Suponhamos que o conjunto dos números primos seja finito: <math>\mathbb{P}=\left\{2, 3, 5, ... , p \right\}.</math> 

Assim, tomemos o número <math>m,</math> tal que: <math>m=(2 \times 3 \times 5 \times ... \times p) + 1</math>

Note que <math>m</math> não é divisível por nenhum elemento de <math>\mathbb{P},</math> pois o resto da divisão é sempre 1.

Assim, <math>m</math> é outro número primo ou é um [[número composto]] cujos fatores são números primos que não estão na lista.

Logo, nossa suposição inicial não tem lugar.

Assim, o conjunto dos números primos '''não é''' finito. O que prova o Teorema.

=== Exemplos ===
Se o conjunto <math>P</math> que aparece na demonstração do teorema for constituído dos primeiros <math>r</math> números primos, então as fatorações de <math>n = 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot p_r + 1</math> para alguns valores de <math>r</math> são as seguintes:

{| class="wikitable" style="text-align:center"
!<math>r</math> || <math>n = 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot p_r + 1</math> || Fatoração de <math>n</math> || Tipo
|-
|<math>1</math> || <math>3 = 2+1</math> || <math>3</math> || primo
|-
|<math>2</math> || <math>7 = 2\cdot3 +1</math> || <math>7</math> || primo
|-
|<math>3</math> || <math>31 = 2\cdot3\cdot5 +1</math> || <math>31</math> || primo
|-
|<math>4</math> || <math>211 = 2\cdot3\cdot5\cdot7 +1</math> || <math>211</math> || primo
|-
|<math>5</math> || <math>2311 = 2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot11 +1</math> || <math>2311</math> || primo
|-
|<math>6</math> || <math>30031 = 2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot11\cdot13 +1</math> || <math>59\cdot509</math> || composto
|-
|<math>7</math> || <math>510511 = 2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot11\cdot13\cdot17 +1</math> || <math>19\cdot97\cdot277</math> || composto
|}

== A demonstração de Euler ==
[[Imagem:Leonhard Euler 2.jpg|thumb|direita|200px|Leonhard Euler.]]
A demonstração do [[Matemática|matemático]] [[Suíça|suíço]] [[Leonhard Euler]] apoia-se no [[teorema fundamental da aritmética]]: que cada número tem uma única [[Fatoração|fatorização]] prima. Sendo ''P'' o conjunto de todos os números primos, Euler escreveu que:

<math display="block">\prod_{p\in P} \frac{1}{1-1/p}=\prod_{p\in P} \sum_{k\geq 0} \frac{1}{p^k}=\sum_n\frac{1}{n}.</math>

A primeira igualdade é dada pela fórmula para a [[série geométrica]] em cada termo do produto. Para mostrar a segunda igualdade, distribua o produto sobre a soma:

<math display="block">\prod_{p\in P} \sum_{k\geq 0} \frac{1}{p^k}=\sum_{k\geq 0} \frac{1}{2^k}\times\sum_{k\geq 0} \frac{1}{3^k}\times\sum_{k\geq 0} \frac{1}{5^k}\times\sum_{k\geq 0} \frac{1}{7^k}\times\cdots=\sum_{k,l,m,n,\cdots \geq 0} \frac{1}{2^k 3^l 5^m 7^n \cdots}=\sum_n\frac{1}{n}</math>
<math display="block">\prod_{p\in P} \frac{1}{1-1/p}=\prod_{p\in P} \sum_{k\geq 0} \frac{1}{p^k}=\sum_n\frac{1}{n}.</math>

No resultado, todo o produto de primos aparece exatamente uma vez e pelo teorema fundamental da aritmética essa soma é igual a soma de todos os inteiros.

A soma na direita é a série harmônica, que diverge. Portanto o produto na esquerda deve divergir também. Como todos os termos do produto são finitos, o número de termos tem de ser infinito; então, existem infinitos números primos.

== A demostração de Furstenberg ==
{{Artigo principal|[[Demonstração de Furstenberg da infinitude dos números primos]]}}
O [[Matemática|matemático]] [[israel]]ense [[Hillel Furstenberg]] introduziu uma demonstração que usa [[topologia geral]].

{{Referências}}

== Ver também ==
{{Wikilivros|Teoria de números|Números primos#Teorema de Euclides|Teorema de Euclides}}

* [[Número primo]]
* [[Teorema fundamental da aritmética]]
* [[Teoria dos números]]
* [[Teorema dos números primos]]
* [[Teorema de Dirichlet]] sobre progressões aritméticas

== Ligações externas ==
* [[Eric W. Weisstein]], [http://mathworld.wolfram.com/EuclidsTheorems.html Euclid's Theorem] no site [[MathWorld]].
* [http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookIX/propIX20.html Elementos de Euclides, Livro IX, Prop. 20] (prova de Euclides)

{{Portal3|Matemática}}

{{DEFAULTSORT:Teorema Euclides}}
[[Categoria:Teoremas de matemática]]
[[Categoria:Números primos]]