Valor eficaz

Em Matemática, o valor quadrático médio ou RMS (do inglês root mean square) ou valor eficaz é uma medida estatística da magnitude de uma quantidade variável. Pode-se calcular para uma série de valores discretos ou para uma função variável contínua. O nome deriva do fato de que é a raiz quadrada da média aritmética dos quadrados dos valores. É um caso especial da potência média com o expoente p = 2.

Definição

O rms para uma coleção de N valores {x₁, x₂, ... , x_N} é dado pela fórmula (1):

(1)x_{\mathrm {rms} }={\sqrt {{1 \over N}\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}}}={\sqrt {{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{N}^{2}} \over N}}

Para uma função variável contínua f(t) definida sobre o intervalo T₁ ≤ t ≤ T₂ o rms é dado pela expressão:

(2)x_{\mathrm {rms} }={\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}{\int _{T_{1}}^{T_{2}}{[f(t)]}^{2}\,dt}}}.

O valor rms para uma função ao longo do tempo é:

(3)f_{\mathrm {rms} }=\lim _{T\rightarrow \infty }\left({\sqrt {{1 \over {2T}}{\int _{-T}^{T}{[f(t)]}^{2}\,dt}}}\right).

O RMS ao longo do tempo para uma função periódica é igual ao RMS de um período das função. O valor RMS de uma função ou sinal contínuos pode ser avaliado, tomando o RMS de uma série de amostras, igualmente espaçadas no tempo.

Fórmulas para calcular os valores RMS de formas de onda comuns

Grandezas e Unidades: t: tempo em Segundos (s) f: Frequencia em Hertz (Hz) a: amplitude (valor de pico). Pode ser qualquer grandeza física, ex.: Corrente (Ampéres), Tensão (Volts), Força (Newtons), etc %: é a operação "Resto da divisão inteira" Ex.: 10 / 3 = 3,333333... 10 % 3 = 1
Forma de Onda	Equação	RMS
Sinusoide ^(pt-PT) / Senoide ^(pt-BR)	$y=a\sin(2\pi ft)\,$	${\frac {a}{\sqrt {2}}}$
Onda Quadrada	$y={\begin{cases}a&((ft)\%1)<0.5\\-a&((ft)\%1)>0.5\end{cases}}$	$a\,$
Sinusoide / Senoide Modificada	$y={\begin{cases}0&((ft)\%1)<0.25\\a&0.25<((ft)\%1)<0.5\\0&0.5<((ft)\%1)<0.75\\-a&((ft)\%1)>0.75\end{cases}}$	${\frac {a}{\sqrt {2}}}$
Onda "Dente-de-Serra"	$y=0.5-2a((ft)\%1)\,$	$a \over {\sqrt {3}}$

Utilização

O valor eficaz de uma função é freqüentemente usado na física e na eletrônica. Por exemplo, nós podemos calcular a Potência P dissipada por um condutor elétrico de resistência R. Ela é fácil de se calcular quando uma corrente constante (I) percorre o condutor, que é simplesmente:

(4)\qquad \qquad P=I^{2}R

ou, considerando uma tensão eléctrica (também designada voltagem) V, é aplicada a uma resistência R, fica:

(5)\qquad \qquad P={V^{2} \over R}

Mas e se a corrente é uma função I(t) que varia seu valor no tempo? É neste momento que se utiliza o valor eficaz. Neste caso, pode-se substituir o valor da corrente constante I pelo valor eficaz da função I(t) na equação acima para se obter a potência dissipada média, assim:

(6)\qquad \qquad P=I_{\mathrm {rms} }^{2}R

Alternativamente, se a tensão é uma função V(t) que varia seu valor no tempo, a potência dissipada média é dada pela equação:

(7)\qquad \qquad P={V_{\mathrm {rms} }^{2} \over R}

No caso comum da corrente alternada, quando I(t) é uma corrente senoidal, tal como se verifica na energia eléctrica distribuída na rede pública, o valor RMS é fácil de calcular a partir da equação (2) acima indicada. O resultado é:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle (8)\qquad\qquad {\mathrm{rms}} = {I_p \over {\sqrt 2}}}

ou, no caso da tensão:

Falhou a verificação gramatical (Erro de conversão. O servidor ("https://wikimedia.org/api/rest_") devolveu: "Cannot get mml. upstream connect error or disconnect/reset before headers. reset reason: connection termination"): {\displaystyle (9)\qquad \qquad {\mathrm {rms} }={V_{p} \over {\sqrt {2}}}}

em que I_p e V_p são os valores de pico (amplitude).

O valor RMS pode ser calculado usando a equação (2) para qualquer forma de onda, por exemplo, um sinal de áudio ou de rádio. Assim, podemos calcular a potência média fornecida a uma carga específica. Por esta razão, as tensões (ou voltagens) indicadas em tomadas de energia e equipamentos eléctricos, (110V ou 220V) são os valores RMS e não os valores de pico (amplitudes).

No campo de áudio, potência média é frequentemente (e de forma errada) designada potência RMS. Isto deve-se provavelmente derivado de Tensão RMS ou corrente RMS. Além disso, como o valor RMS implica alguma forma de valor médio, expressões como "potência RMS de pico", frequentemente utilizadas em anúncios de amplificadores de áudio, não têm qualquer significado.

Relação entre média aritmética e desvio padrão

Se ${\bar {x}}$ fôr a média aritmética e $\sigma _{x}$ o desvio padrão de uma população, então:

x_{\mathrm {rms} }^{2}={\bar {x}}^{2}+\sigma _{x}^{2}.

Ver também

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