Diferença simétrica

Diagrama de Venn de $~A\triangle B$
A diferença simétrica é
a união tirando a interseção:
$~\setminus ~$ $~=~$

Em matemática, a diferença simétrica de dois conjuntos é o conjunto de elementos que estão em um dos conjuntos, e não em sua interseção. A diferença simétrica dos conjuntos A e B é comumente denotada por

$A\,\triangle \,B,$

ou

$A\ominus B,$

ou

$A\oplus B.$

Por exemplo, a diferença simétrica dos conjuntos $\{1,2,3\}$ e $\{3,4\}$ é $\{1,2,4\}$.

O conjunto das partes de qualquer conjunto torna-se um grupo abeliano sob a operação de diferença simétrica, sendo o conjunto vazio como o elemento neutro do grupo e cada elemento deste grupo o seu próprio inverso. O conjunto das partes de qualquer conjunto se torna um anel booleano usando a diferença simétrica como a adição do anel e intersecção como a multiplicação do anel.

Propriedades

Diagrama de Venn de $~A\triangle B\triangle C$ $~\triangle ~$ $~=~$

A diferença simétrica é equivalente à união de ambas as diferenças, que é:

$A\,\triangle \,B=(A\smallsetminus B)\cup (B\smallsetminus A),\,$

A diferença simétrica também pode ser expressa usando a operação XOR, ⊕, sobre os predicados que descrevem os dois conjuntos da seguinte forma:

$A\,\triangle \,B=\{x:(x\in A)\oplus (x\in B)\}.$

A diferença simétrica também pode ser expressa como a união de dois conjuntos, menos a sua interseção:

$A\,\triangle \,B=(A\cup B)\smallsetminus (A\cap B),$

Em particular, $A\triangle B\subseteq A\cup B$; a igualdade na inclusão não-estrita ocorre se, e somente se, $A$ e $B$ são conjuntos disjuntos. Além disso, se denotamos $D=A\triangle B$ e $I=A\cap B$, então $D$ e $I$ sempre são disjuntos, e portanto $D$ e $I$ formam uma partição de $A\cup B$. Consequentemente, assumindo interseção e diferença simétrica como operações primitivas, a união de dois conjuntos pode ser bem definido em termos de diferença simétrica pelo lado direito da igualdade

$A\,\cup \,B=(A\,\triangle \,B)\,\triangle \,(A\cap B)$.

A diferença simétrica é comutativa e associativa (e, consequentemente, o conjunto de parênteses na expressão anterior foi, portanto, desnecessário):

$A\,\triangle \,B=B\,\triangle \,A,\,$

$(A\,\triangle \,B)\,\triangle \,C=A\,\triangle \,(B\,\triangle \,C).\,$

A primeira dessas (comutatividade) tem sua demonstração com poucos e simples passos, uma vez que sabemos que a união também é comutativa:

$A\,\triangle \,B=(A\smallsetminus B)\cup (B\smallsetminus A)=(B\smallsetminus A)\cup (A\smallsetminus B)=B\,\triangle \,A$

Já a segunda, a associatividade, exige um pouco mais de passos para sua demonstração:

$(A\,\triangle \,B)\,\triangle \,C=((A\,\triangle \,B)\smallsetminus C)\cup (C\smallsetminus (A\,\triangle \,B))=(((A\smallsetminus B)\cup (B\smallsetminus A))\smallsetminus C)\cup (C\smallsetminus ((A\smallsetminus B)\cup (B\smallsetminus A)))$

A partir daí, vamos separar a expressão em duas partes para prosseguir a demonstração. A primeira parte da expressão será o lado esquerdo do operador de união principal, onde usaremos a propriedade de distributividade pela esquerda da diferença de conjuntos, depois a propriedade de "diferença da união":

$((A\smallsetminus B)\cup (B\smallsetminus A))\smallsetminus C=((A\smallsetminus B)\smallsetminus C)\cup ((B\smallsetminus A)\smallsetminus C)=(A\smallsetminus (B\cup C))\cup (B\smallsetminus (A\cup C))$

Na segunda parte da expressão principal, serão utilizadas propriedades de complemento de conjuntos (encontradas na mesma página sobre diferença de conjuntos), novamente a propriedade de diferença da união, além de propriedades de distributividade entre união e intersecção:

$C\smallsetminus ((A\smallsetminus B)\cup (B\smallsetminus A))=(C\smallsetminus (A\smallsetminus B))\smallsetminus (B\smallsetminus A)=C\cap (A\smallsetminus B)^{\complement }\cap (B\smallsetminus A)^{\complement }=C\cap (A^{\complement }\cup B)\cap (B^{\complement }\cup A)=$

$C\cap ((A^{\complement }\cap (B^{\complement }\cup A))\cup (B\cap (B^{\complement }\cup A)))=C\cap ((A^{\complement }\cap B^{\complement })\cup (B\cap A))=(C\smallsetminus (A\cup B))\cup (C\cap B\cap A)$

Por fim, ao juntar essas duas partes, substituindo na expressão inicial suas equivalências encontradas e utilizando as propriedades de comutatividade, temos:

$(A\,\triangle \,B)\,\triangle \,C=(A\smallsetminus (B\cup C))\cup (B\smallsetminus (A\cup C))\cup (C\smallsetminus (A\cup B))\cup (C\cap B\cap A)=$

$(B\smallsetminus (C\cup A))\cup (C\smallsetminus (B\cup A))\cup (A\smallsetminus (B\cup C))\cup (A\cap C\cap B)=(B\,\triangle \,C)\,\triangle \,A=A\,\triangle \,(B\,\triangle \,C)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Box$

O conjunto vazio é neutro, e cada conjunto é o seu próprio inverso:

$A\,\triangle \,\varnothing =A,\,$

$A\,\triangle \,A=\varnothing .\,$

A intersecção é distributiva em relação à diferença simétrica:

$A\cap (B\,\triangle \,C)=(A\cap B)\,\triangle \,(A\cap C),$

e isso mostra que o conjunto de potência de X torna-se um anel com diferença simétrica como a adição e a intersecção de multiplicação. Este é um exemplo de um anel booleano.

Mais propriedades da diferença simétrica:

• $(A\smallsetminus B)\triangle \,B\,=\,A\cup B$
• $A\,\triangle \,B\,=\,A^{\complement }\triangle \,B^{\complement }$, tal que $A^{\complement }$ e $B^{\complement }$ são os complementares de $A$ e $B$, respectivamente, relativo a qualquer conjunto fixo que contenha ambos os conjuntos.

• $\left(\bigcup _{\alpha \in {\mathcal {I}}}A_{\alpha }\right)\triangle \left(\bigcup _{\alpha \in {\mathcal {I}}}B_{\alpha }\right)\subseteq \bigcup _{\alpha \in {\mathcal {I}}}\left(A_{\alpha }\triangle B_{\alpha }\right)$, se ${\mathcal {I}}$ é um conjunto de índices arbitrário porém não vazio 

• Se $f:S\rightarrow T$ é qualquer função e $A,B\subseteq T$ são conjuntos em codomínios de $f$$f^{-1}\left(A\Delta B\right)=f^{-1}\left(A\right)\Delta f^{-1}\left(B\right)$.

A diferença simétrica pode ser definida em qualquer álgebra Booleana da seguinte maneira:

$x\,\triangle \,y=(x\lor y)\land \lnot (x\land y)=(x\land \lnot y)\lor (y\land \lnot x)=x\oplus y.$

Esta operação tem as mesmas propriedades que a diferença simétrica de conjuntos.

Diferença simétrica em espaços de medida

Enquanto houver uma noção de "quão grande " é um conjunto, a diferença simétrica entre dois conjuntos pode ser considerada uma medida de quão "longe" eles estão. Primeiro, considere um conjunto finito S e a medida de contagem em subconjuntos dada pelo seu tamanho. Agora, considere dois subconjuntos de S e defina distância como o tamanho da sua diferença simétrica. Esta distância é, na verdade, uma métrica de modo que o conjunto das partes de S é um espaço métrico. Se S tem n elementos, então a distância a partir do conjunto vazio de S é n, e este é o máximo de distância, para qualquer par de subconjuntos.

Usando as ideias da teoria da medida, a separação de conjuntos mensuráveis pode ser definida como a medida de sua diferença simétrica. Se μ é uma medida σ-finita definida em uma σ-algebra Σ, a função

$d_{\mu }(X,Y)=\mu (X\,\triangle \,Y)$

é uma pseudométrica em Σ. d_μ torna-se uma métrica se Σ é considerada módulo da relação de equivalência X ~Y se, e somente se, $\mu (X\,\triangle \,Y)=0$. O espação métrico resultante é separável se e somente se L²(μ) é separável.

Se $\mu (X),\mu (Y)<\infty$, temos: $|\mu (X)-\mu (Y)|\leq \mu (X\,\triangle \,Y)$. De fato,

${\begin{aligned}|\mu (X)-\mu (Y)|&=|(\mu (X\setminus Y)+\mu (X\cap Y))-(\mu (X\cap Y)+\mu (Y\setminus X))|\\&=|\mu (X\setminus Y)-\mu (Y\setminus X)|\\&\leq |\mu (X\setminus Y)|+|\mu (Y\setminus X)|\\&=\mu (X\setminus Y)+\mu (Y\setminus X)\\&=\mu ((X\setminus Y)\cup (Y\setminus X))\\&=\mu (X\Delta Y)\end{aligned}}$

Seja $S=\left(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu \right)$ um espaço de medida e sejam $F,G\in {\mathcal {A}}$ e ${\mathcal {D}},{\mathcal {E}}\subseteq {\mathcal {A}}$.

A diferença simétrica é mensurável: $F\triangle G\in {\mathcal {A}}$.

Podemos escrever $F=G\left[{\mathcal {A}},\mu \right]$ se, e somente se $\mu \left(F\triangle G\right)=0$. A relação "$=\left[{\mathcal {A}},\mu \right]$" é uma relação de equivalência em a conjuntos ${\mathcal {A}}$-mensuráveis.

Podemos escrever ${\mathcal {D}}\subseteq {\mathcal {E}}\left[{\mathcal {A}},\mu \right]$ se, e somente se, para cada $D\in {\mathcal {D}}$ existir algum $E\in {\mathcal {E}}$ de tal forma que $D=E\left[{\mathcal {A}},\mu \right]$. A relação "$\subseteq \left[{\mathcal {A}},\mu \right]$" é uma ordem parcial sobre a família de subconjuntos de ${\mathcal {A}}$.

Podemos escrever ${\mathcal {D}}={\mathcal {E}}\left[{\mathcal {A}},\mu \right]$ se, e somente se, ${\mathcal {D}}\subseteq {\mathcal {E}}\left[{\mathcal {A}},\mu \right]$ e ${\mathcal {E}}\subseteq {\mathcal {D}}\left[{\mathcal {A}},\mu \right]$. A relação "$=\left[{\mathcal {A}},\mu \right]$" é uma relação de equivalência entre os subconjuntos de ${\mathcal {A}}$.

O "fecho simétrico" de ${\mathcal {D}}$ é o conjunto de todos os conjuntos ${\mathcal {A}}$-mensuráveis que são $=\left[{\mathcal {A}},\mu \right]$ para algum $D\in {\mathcal {D}}$. O fecho simétrico de ${\mathcal {D}}$ contém ${\mathcal {D}}$. Se ${\mathcal {D}}$ é um sub-$\sigma$-álgebra de ${\mathcal {A}}$, o fecho simétrico em questão também será.

Distância de Hausdorff vs. Diferença Simétrica

Duas sequências de formatos ilustrando as diferenças entre a distância de Hausdorff e a diferença simétrica.

A distância de Hausdorff e a (área da) diferença simétrica são ambos pseudométricas sobre o conjunto formas geométricas mensuráveis. No entanto, eles se comportam de forma bastante diferente. A figura ao lado mostra duas sequências de formas, "Vermelho" e "Vermelho ∪ Verde". Quando a distância de Hausdorff entre eles torna-se menor, a área da diferença simétrica entre eles torna-se maior, e vice-versa. Continuando estas sequências em ambas as direções, é possível obter duas seqüências tais que a distância de Hausdorff entre eles irá convergir para 0 e a distância simétrica irá divergir, ou vice-versa.

Veja também

• Complementar
• Simetria
• Lógica fuzzy

Referências

• Halmos, Paul R. (1960). Naive set theory. Col: The University Series in Undergraduate Mathematics. [S.l.]: van Nostrand Company. Zbl 0087.04403 
• Weisstein, Eric W. «Symmetric Difference». MathWorld (em inglês) 
• Diferença simétrica de conjuntos. Na Enciclopédia de Matemática em inglês.