Sentença (lógica matemática)

 Nota: Para outros significados, veja sentença (desambiguação).

Em lógica matemática, uma sentença de uma lógica de predicados é uma fórmula bem formada com valor booleano e sem variáveis livres. Uma sentença pode ser vista como expressão de uma proposição, algo que possa ser falso ou então verdadeiro. A restrição de não possuir variáveis livres é necessária para assegurar que sentenças possam ter valores verdade concretos e fixos: Como as variáveis livres de uma fórmula (geral) podem assumir diversos valores, o valor verdade de tal fórmula pode variar.

Sentenças sem quaisquer conectivos lógicos ou quantificadores são conhecidas como sentenças atômicas; por analogia a fórmula atômica. Sentenças são, então, construídas a partir de sentenças atômicas por meio da aplicação de conectivos e quantificadores.

Um conjunto de sentenças é chamado de teoria; assim, sentenças individuais podem ser chamadas teoremas. Para avaliar corretamente a verdade (ou falsidade) de uma sentença, é preciso fazer referência a uma interpretação da teoria. Para teorias de primeira-ordem, interpretações são comumente chamadas estruturas. Dada uma estrutura ou interpretação, uma sentença tem um valor verdade fixo. Uma teoria é satisfatível quando todas suas sentenças são verdade.

Exemplo

O exemplo a seguir está em lógica de primeira ordem.

$\forall y\exists x(x^{2}=y)$

é uma sentença. Essa sentença é verdadeira nos números reais positivos ℝ⁺, falsa nos números reais ℝ, e verdadeira nos números complexos ℂ. (Em português, essa sentença é interpretada para dizer que todo o número da estrutura é o quadrado de um membro daquela estrutura particular). Por outro lado, a fórmula:

$\exists x(x^{2}=y)$

não é uma sentença, por causa da presença da variável livre y. Na estrutura dos números reais, essa fórmula é verdadeira se substituirmos (arbitrariamente) y = 2, mas falsa se y = -2. (O que importa é a presença de uma variável livre, em vez do valor da variável da verdade, por exemplo, mesmo na estrutura dos números complexos, onde a declaração é sempre verdade, ainda não é considerado uma sentença). Em vez disso, em vez de fórmula pode ser referido como predicado.

Ver também

• Átomo básico
• Declaração (lógica)
• Proposição

Referências

• Hinman, P. (2005). Fundamentals of Mathematical Logic. [S.l.]: A K Peters. ISBN 1-56881-262-0 
• Rautenberg, Wolfgang (2010), A Concise Introduction to Mathematical Logic, ISBN 978-1-4419-1220-6 3rd ed. , New York: Springer Science+Business Media, doi:10.1007/978-1-4419-1221-3 .