Princípio de Dirichlet

Em matemática, o princípio de Dirichlet em teoria do potencial estabelece que, se a função u(x) é a solução para a equação de Poisson

$\Delta u+f=0\,$

sobre um domínio $\Omega$ de $\mathbb {R} ^{n}$ com condição de contorno

$u=g{\text{ on }}\partial \Omega ,\,$

então u pode ser obtido como o mínimo da energia de Dirichlet

$E[v(x)]=\int _{\Omega }\left({\frac {1}{2}}|\nabla v|^{2}-vf\right)\,\mathrm {d} x$

entre todas as funções duas vezes diferenciáveis $v$ tal que $v=g$ em $\partial \Omega$ (desde que exista pelo menos uma função que faça a integral de Dirichlet finita). Este conceito é nomeado em homenagem ao matemático alemão Lejeune Dirichlet.

Uma vez que a integral de Dirichlet é delimitada a partir de baixo, a existência de um ínfimo é garantida. Ínfimo este que é atingido como foi demonstrado por Riemann (que cunhou o termo princípio de Dirichlet) e outros até Weierstrass que apresentou um exemplo de um funcional que não atingia o mínimo. Hilbert, mais tarde, justificou a utilização de Riemann do princípio de Dirichlet .

Ver também

• Problema de Plateau
• Primeira identidade de Green

Referências

• Lawrence C. Evans (1998). Partial Differential Equations. [S.l.]: American Mathematical Society. ISBN 978-0821807729 
• Weisstein, Eric W. «Dirichlet's Principle». MathWorld (em inglês)