Marele icosidodecaedru

Descriere
Marele icosidodecaedru

Tip	poliedru uniform neconvex
Fețe	32
Laturi (muchii)	60
Vârfuri	30
χ	2
Configurația vârfului	(3⁵)/2
Simbol Wythoff	2 \| 3 5/2 2 \| 3 5/3 2 \| 3/2 5/2 2 \| 3/2 5/3
Simbol Schläfli	{3,⁵⁄₂}
Diagramă Coxeter
Grup de simetrie	I_h, [5,3], *532
Grup de rotație	I, [5,3]⁺, (532)
Volum	≈1,164 $a$ ³ ( $a$ = latura)
Poliedru dual	Marele triacontaedru rombic
Proprietăți	uniform, neconvex
Figura vârfului

În geometrie marele icosidodecaedru este un poliedru uniform neconvex, cu simbolul U₅₄. Are 32 de fețe (20 de triunghi uri și 12 pentagrame), 60 de laturi și 30 de vârfuri.^[1] Are simbolul Schläfli r{3,⁵⁄₂}. Este rectificarea marelui dodecaedru stelat și a marelui icosaedru. A fost descoperit independent de Edmund Hess în 1878^[2] și de Pitsch în 1882^[3].

Mărimi asociate

Coordonate carteziene

Coordonatele carteziene ale vârfurilor marelui icosidodecaedru cu lungimea laturii 2, centrat în origine, sunt toate permutările ale:^[4]^[5]

\left(\,0,\,0,\,\pm 2(\varphi -1)\,\right)

împreună cu toate permutările pare ale:

\left(\,\pm (2-\varphi ),\,\pm (\varphi -1),\,\pm 1\,\right)

unde $\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ este secțiunea de aur.

Raza circumscrisă

Raza circumscrisă în funcție de lungimea laturilor $a$ este.^[6]

R=\varphi ^{-1}\,a=(\varphi -1)\,a.

Volum

Următoarea formulă pentru volum $V$ este stabilită pentru lungimea laturilor tuturor poligoanelor (care sunt regulate) $a$ :

V={\frac {45-17{\sqrt {5}}}{6}}\,a^{3}\approx 1,164474~a^{3}.

Poliedre înrudite

Trunchiere animată de la {⁵⁄₂, 3} la {3, ⁵⁄₂}

Numele este format analog cum un cub–octaedru formează un cuboctaedru și cum un dodecaedru–icosaedru creează un (mic) icosidodecaedru.

Are aceeași dispunere a vârfurilor cu icosidodecaedrul, anvelopa sa convexă. Spre deosebire de marele icosaedru și marele dodecaedru, marele icosidodecaedru nu este o stelare a icosidodecaedrului, ci o fațetare a acestuia.

De asemenea, are aceeași dispunere a laturilor cu marele icosihemidodecaedru (având fețele triunghiulare în comun) și cu marele dodecahemidodecaedru (având fețele pentagramice în comun).

Marele icosidodecaedru	Marele dodecahemidodecaedru	Marele icosihemidodecaedru
Icosidodecaedru (anvelopa convexă)

Acest poliedru poate fi considerat un mare icosaedru rectificat

Marele dodecaedru stelat trunchiat este un poliedru degenerat, cu 20 de fețe triunghiulare de la vârfurile trunchiate și 12 fețe pentagonale (ascunse) ca trunchieri ale fețelor originale ale pentagramei, acestea din urmă formând un mare dodecaedru înscris în interior și având în comun laturile icosaedrului.

Nume	Marele dodecaedru stelat	Marele dodecaedru stelat trunchiat	Marele icosidodecaedru	Marele icosaedru trunchiat	Marele icosaedru
Diagramă Coxeter–Dynkin
imagine

Marele triacontaedru rombic

Descriere
Marele triacontaedru rombic

Tip	poliedru uniform
Fețe	30
Laturi (muchii)	60
Vârfuri	32
χ	2
Simbol Schläfli	{⁵⁄₂,3}
Grup de simetrie	I_h, [5,3], *532
Grup de rotație	I, [5,3]⁺, (532)
Poliedru dual	Marele icosidodecaedru
Proprietăți	uniform, neconvex

Dualul marelui icosidodecaedru este marele triacontaedru rombic, cu simbolul uniform DU54. Este o figură izoedrică și izotoxală. Are 30 de fețe rombice care se intersectează. Poate fi numit și marele triacontaedru stelat.

Marele triacontaedru rombic poate fi construit prin extinderea fețelor unui triacontaedru rombic cu un factor de $\varphi ^{3}=1+2\varphi =2+{\sqrt {5}},$ unde $\varphi$ este secțiunea de aur.

Note

^ en Maeder, Roman. „54: great icosidodecahedron”. MathConsult.
^ Badoureau, Mémoire...
^ Pitsch, Über...
^ en Coxeter, H.S.M. Regular Polytopes (third edition), Dover Publications Inc, 1973 ISBN: 0-486-61480-8, p. 52, §3.7 Coordinates for the vertices of the regular and quasi-regular solids
^ en Eric W. Weisstein, Icosahedral group la MathWorld.
^ en Eric W. Weisstein, Great icosidodecahedron la MathWorld.

Bibliografie

fr Badoureau (1881), „Mémoire sur les figures isoscèles”, Journal de l'École Polytechnique, 49: 47–172
de Hess, Edmund (1878), Vier archimedeische Polyeder höherer Art, Cassel. Th. Kay, JFM 10.0346.03
de Pitsch (1882), „Über halbreguläre Sternpolyeder”, Zeitschrift für das Realschulwesen, 7, JFM 14.0448.01
en Wenninger, Magnus (1983), Dual Models, Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9780511569371, ISBN 978-0-521-54325-5, MR 0730208

Vezi și

Lista poliedrelor uniforme

Legături externe

en Eric W. Weisstein, Great rhombic triacontahedron la MathWorld.
en Uniform polyhedra and duals

Portal Matematică

en Klitzing, Richard. „3D uniform polyhedra”. Cheie: gid

[1] Maeder, Roman. „54: great icosidodecahedron”. MathConsult.

[2] Badoureau, Mémoire...

[3] Pitsch, Über...

[4] Coxeter, H.S.M. Regular Polytopes (third edition), Dover Publications Inc, 1973 ISBN: 0-486-61480-8, p. 52, §3.7 Coordinates for the vertices of the regular and quasi-regular solids

[5] Eric W. Weisstein, Icosahedral group la MathWorld.

[6] Eric W. Weisstein, Great icosidodecahedron la MathWorld.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

v d m Poliedre neconvexe
Poliedre Kepler–Poinsot	micul dodecaedru stelat marele dodecaedru marele dodecaedru stelat marele icosaedru
Trunchieri uniforme ale poliedrelor Kepler–Poinsot	dodecadodecaedru marele dodecaedru trunchiat rombidodecadodecaedru dodecadodecaedru trunchiat dodecadodecaedru snub marele icosidodecaedru marele icosaedru trunchiat marele rombicosidodecaedru neconvex marele icosidodecaedru trunchiat
hemipoliedre uniforme neconvexe	tetrahemihexaedru cubohemioctaedru octahemioctaedru micul dodecahemidodecaedru micul icosihemidodecaedru marele dodecahemidodecaedru marele icosihemidodecaedru marele dodecahemicosaedru micul dodecahemicosaedru
Duale ale poliedrelor uniforme neconvexe	triacontaedru rombic medial micul dodecaedru stelapentakis hexacontaedru romboidal medial hexacontaedru pentagonal medial triacontaedru disdiakis medial marele triacontaedru rombic marele dodecaedru stelapentakis marele hexacontaedru romboidal marele triacontaedru disdyakis marele hexacontaedru pentagonal