Гравитационное поле

Гравитацио́нное по́ле, или по́ле тяготе́ния, — фундаментальное физическое поле, через которое осуществляется гравитационное взаимодействие между всеми материальными телами. Создаётся телами, обладающими массой. Количественно характеризуется зависящими от координат напряжённостью $\mathbf {g} (\mathbf {r} )$ (размерность Н/кг, она же м/c²) или потенциалом $\varphi (\mathbf {r} )$ (Дж/кг, то есть м²/c²).

Гравитационное поле в классической физике

Закон всемирного тяготения Ньютона

Закон тяготения Ньютона

Основная статья: Классическая теория тяготения Ньютона

В рамках классической физики гравитационное взаимодействие описывается «законом всемирного тяготения» Ньютона, согласно которому сила гравитационного притяжения между двумя материальными точками с массами $m_{1}$ и $m_{2}$ пропорциональна обеим массам и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:

$F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}.$

Здесь $G$ — гравитационная постоянная, приблизительно равная $6{,}673\cdot 10^{-11}$ м³/(кг с²), $r$ — расстояние между точками.

Решение задачи динамики в общем случае, когда тяготеющие массы нельзя считать материальными точками, подразделяется на два этапа: вначале рассчитывается гравитационное поле, создаваемое этими массами, а затем определяется его действие на массивные тела в изучаемой системе.

Расчёт гравитационного потенциала

Основная статья: Гравитационный потенциал

Гравитационное поле является потенциальным. Его потенциал $\varphi (\mathbf {r} )$ удовлетворяет уравнению Пуассона:

$\Delta \varphi (\mathbf {r} )=-4\pi G\rho (\mathbf {r} )$,

где $\Delta$ — оператор Лапласа. Решение данного уравнения имеет вид:

$\varphi (\mathbf {r} )=-G\int _{V^{\prime }}{\frac {\rho (\mathbf {r} ^{\prime })dV^{\prime }}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} ^{\prime }|}}$.

Здесь $\mathbf {r}$ — радиус-вектор точки, в которой определяется потенциал, $\mathbf {r} ^{\prime }$ — радиус-вектор элемента объёма $dV^{\prime }$ c плотностью вещества $\rho (\mathbf {r} ^{\prime })$, а интегрирование охватывает все такие элементы. На бесконечности $\varphi =0$.

В частном случае поля, создаваемого расположенной в начале координат точечной массой $M$, потенциал равен

$\varphi (\mathbf {r} )=-G{\frac {M}{r}}$.

Этим же выражением описывается потенциал тела со сферически-симметрично распределённой массой $M$, за его пределами.

В общем случае тела произвольной формы на больших расстояниях от него неплохое приближение для потенциала даёт формула:

$\varphi (\mathbf {r} )=-G\left({\frac {M}{r}}+{\frac {A+B+C-3I}{2r^{3}}}\right),$

где за начало координат принят центр масс тела, $A,B,C$ — главные моменты инерции тела, $I$ — момент инерции относительно оси $\mathbf {r}$. Эта формула несколько упрощается для астрономических объектов, представляющих собой сплюснутые сфероиды вращения с концентрически однородным распределением масс. У таких тел $A=B$ и $I=A+(C-A)\sin ^{2}\alpha ,$ где $\alpha$ — угол между $\mathbf {r}$ и плоскостью главных осей $A$ и $B$. В итоге

$\varphi (\mathbf {r} )=-G\left({\frac {M}{r}}+{\frac {C-A}{2r^{3}}}(1-3\sin ^{2}\alpha )\right).$

Движение в гравитационном поле

Если потенциал поля определён, то сила притяжения, действующая в гравитационном поле на материальную точку с массой $m$, находится по формуле:

$\mathbf {F} (\mathbf {r} )=-m\nabla \varphi (\mathbf {r} )=-Gm\int _{V^{\prime }}{\frac {\rho (\mathbf {r} ^{\prime })(\mathbf {r} -\mathbf {r} ^{\prime })dV^{\prime }}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} ^{\prime }|^{3}}}$.

В частном случае поля точечной массы $M$, расположенной в начале координат ($\mathbf {r} ^{\prime }=\mathbf {0}$), действующая сила составит

$\mathbf {F} (\mathbf {r} )=-G\,{\frac {mM}{r^{3}}}\,\mathbf {r}$.

Траектория материальной точки в гравитационном поле, создаваемом много большей по массе материальной точкой, подчиняется законам Кеплера. В частности, планеты и кометы в Солнечной системе движутся по эллипсам или гиперболам. Влияние других планет, искажающее эту картину, можно учесть с помощью теории возмущений.

Если исследуемое тело нельзя рассматривать как материальную точку, то его движение в гравитационном поле включает также вращение вокруг оси, проходящей через центр масс:

${\frac {d\mathbf {H} }{dt}}=\mathbf {K} .$

Здесь: $\mathbf {H}$ — угловой момент относительно центра масс, $\mathbf {K}$ — равнодействующая моментов действующих сил относительно центра масс. Более общий случай, когда масса исследуемого тела сравнима с массой источника поля, известен как задача двух тел, и её формулировка сводится к системе двух независимых движений. Исследование движения более чем двух тел («задача трёх тел») разрешимо только в нескольких специальных случаях.

Недостатки ньютоновской модели тяготения

Практика показала, что классический закон всемирного тяготения позволяет с огромной точностью объяснить и предсказать движения небесных тел. Однако ньютоновская теория содержала ряд серьёзных недостатков. Главный из них — необъяснимое дальнодействие: сила притяжения передавалась неизвестно как через совершенно пустое пространство, причём бесконечно быстро. По существу ньютоновская модель была чисто математической, без какого-либо физического содержания. Кроме того, если Вселенная, как тогда предполагали, евклидова и бесконечна, и при этом средняя плотность вещества в ней ненулевая, то возникает гравитационный парадокс: потенциал поля всюду обращается в бесконечность. В конце XIX века обнаружилась ещё одна проблема: заметное расхождение теоретического и наблюдаемого смещения перигелия Меркурия.

На протяжении более двухсот лет после Ньютона физики предлагали различные пути усовершенствования ньютоновской теории тяготения. Эти усилия увенчались успехом в 1915 году, с созданием общей теории относительности Эйнштейна, в которой все указанные трудности были преодолены. Теория Ньютона оказалась приближением более общей теории, применимым при выполнении двух условий:

1. Гравитационный потенциал в исследуемой системе не слишком велик (много меньше $c^{2}$). В Солнечной системе это условие для большинства движений небесных тел можно считать выполненным — даже на поверхности Солнца отношение $|\varphi |/c^{2}$ составляет всего $2{,}12\cdot 10^{-6}$. Заметным релятивистским эффектом является только указанное выше смещение перигелия.
2. Скорости движения в этой системе незначительны по сравнению со скоростью света.

Гравитационное поле в общей теории относительности

Основная статья: Общая теория относительности

В общей теории относительности (ОТО) гравитационное поле является не отдельным физическим понятием, а свойством пространства-времени, появляющимся в присутствии материи. Этим свойством является неевклидовость метрики (геометрии) пространства-времени, и материальным носителем тяготения является пространство-время. Тот факт, что гравитацию можно рассматривать как проявление свойств геометрии четырёхмерного неевклидова пространства, без привлечения дополнительных понятий, есть следствие того, что все тела в поле тяготения получают одинаковое ускорение («принцип эквивалентности» Эйнштейна). Пространство-время при таком подходе приобретает физические атрибуты, которые влияют на физические объекты и сами зависят от них.

Пространство-время ОТО представляет собой псевдориманово многообразие с переменной метрикой. Причиной искривления пространства-времени является присутствие материи, и чем больше её энергия, тем искривление сильнее. В ОТО символы Кристоффеля играют роль гравитационного силового поля, а метрический тензор играет роль гравитационного потенциала. Для определения метрики пространства-времени при известном распределении материи надо решить уравнения Эйнштейна. Ньютоновская же теория тяготения представляет собой приближение ОТО, которое получается, если учитывать только «искривление времени», то есть изменение временно́й компоненты метрики, $g_{00}$ (пространство в этом приближении евклидово). Распространение возмущений гравитации, то есть изменений метрики при движении тяготеющих масс, происходит с конечной скоростью, и дальнодействие в ОТО отсутствует.

Другие существенные отличия гравитационного поля ОТО от ньютоновского: возможность нетривиальной топологии пространства, особых точек, гравитационные волны.

См. также

• Уравнение Кеплера
• Гравитационная задача N тел
• Задача Кеплера в общей теории относительности

Литература

• Дубошин Г. Н. . Небесная механика. Основные задачи и методы. — М.: Наука, 1968. — 800 с.
• Иваненко Д. Д., Сарданашвили Г. А. . Гравитация. — 3-е изд. — М.: УРСС, 2008. — 200 с.
• Мензел Д. (ред.). Основные формулы физики. Глава 29. Небесная механика. — М.: Изд. иностранной литературы, 1957. — 658 с.
• Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация. — М.: Мир, 1977.

Ссылки

• Тюлина И. А. Об основах ньютоновой механики (к трёхсотлетию «Начал» Ньютона) // История и методология естественных наук. — М.: МГУ, 1989. — Вып. 36. — С. 184—196..