Linearna transformacija

U matematici, linearno preslikavanje (takođe linearna transformacija ili linearni operator) je funkcija između dva vektorska prostora, koja očuvava operacije sabiranja vektora i skalarnog množenja. Izraz linearna transformacija se često koristi, posebno za linearna preslikavanje iz nekog vektorskog prostora u samog sebe (endomorfizmi).

U jeziku apstraktne algebre, linearno preslikavanje je homomorfizam vektorskih prostora, ili morfizam u kategoriji vektorskih prostora nad datim poljem.

Definicija i direktne posledice

Neka su V i W vektorski prostori nad istim poljem K. Funkcija f : V → W je linearno preslikavanje ako za svaka dva vektora x i y iz V i svaki skalar a iz K, važe sledeća dva uslova:

$f(x+y)=f(x)+f(y)\,$	aditivnost
$f(ax)=af(x)\,$	homogenost

Ovo je ekvivalentno zahtevu da za sve vektore x₁, ..., x_m i skalare a₁, ..., a_m, važi jednakost

$f(a_{1}x_{1}+\cdots +a_{m}x_{m})=a_{1}f(x_{1})+\cdots +a_{m}f(x_{m})$

Ponekad može da se uzme da su V i W vektorski prostori nad različitim poljima. Tada je neophodno odrediti koje od ovih polja se uzima u definiciji linearnosti. Ako su V i W vektorski prostori nad poljem K kao u gornjem slučaju, radi se o K-linearnim preslikavanjima. Na primer konjugacija kompleksnih brojeva je R-linearno preslikavanje C → C, ali nije C-linearno.

LInearno preslikavanje iz V u K (gde se K posmatra kao vektorski prostor nad samim sobom) se naziva linearni funkcional.

Iz definicije direktno sledi da je f(0) = 0. Stoga se linearna preslikavanja ponekad nazivaju homogenim linearnim preslikavanjima (vidi: linearna funkcija).

Primeri

• Identiteta i nula-preslikavanje su linearni.
• Za realne brojeve, preslikavanje $x\mapsto x^{2}$ nije linearno.
• Za realne brojeve, preslikavanje $x\mapsto x+1$ nije linearno.
• Ako je A m × n matrica, onda A definiše linearno preslikavanje iz Rⁿ u R^m tako što šalje vektor kolona x ∈ Rⁿ u vektor kolona Ax ∈ R^m. Obratno, svako linearno preslikavanje između konačno-dimenzionih vektorskih prostora se može predstaviti na ovaj način.
• Integral daje linearno preslikavanje iz prostora svih integrabilnih funkcija realne vrednosti na nekom intervalu u R
• Diferenciranje je linearno preslikavanje iz prostora svih diferencijabilnih funkcija u prostor svih funkcija.

Literatura

• Ayres, Frank, Schaum's Outline of Modern Abstract Algebra, McGraw-Hill; 1st edition (June 1, 1965). ISBN 0-07-002655-6.