Matematička analiza

Matematička analiza (starogrčki ανάλυσις, análysis, rešenje) je oblast matematike koja koristi ideju granične vrednosti. Oblast se pominje i pod imenima viša matematika, infinitezimalni račun, a u engleskoj literaturi kao „Kalkulus“ (engl. Calculus). To je veoma široka oblast matematike i predmet je višegodišnjih studija na fakultetima.

U principu, deli se na dva dela: diferencijalni i integralni račun. Proučavanje beskonačnih redova i analitičkih funkcija takođe spada u domen analitičke matematike.

Ovde je opisan istorijski ravoj matematičke analize.

Diferencijalni račun

Diferencijalni račun i diferenciranje proučavaju promene realnih funkcija pri promenama nezavisne varijable, tj. nezavisne promenljive. Polazi se od problema nalaženja tangente na krivu, koji je prvi objavio Isak Barou (Isaac Barrow: Lectiones geometricae, 1670). Isak Njutn (Isaac Newton) je otkrio metod (1665-6.) i sugerisao I. Barou, svom profesoru matematike, da metodu uključi u udžbenik. U svojoj originalnoj teoriji, Njutn je posmatrao funkciju kao promenljivu, fluentnu količinu, i derivaciju, ili iznos promene, nazvao fluks (fluxion). Definisao je nagib krive u tački kao priraštaj tangente na tu krivu u maloj okolini date tačke. Danas veoma poznatu binomnu teoremu Njutn je primenio da nađe granični slučaj, što znači da je difernecijalni račun Njutnu bio potreban za beskonačne nizove. Upotrebio je oznake iks, odnosno ipsilon sa tačkom iznad ( ${\dot {x}},{\dot {y}}$ ) za fluks, i isto sa dve tačke iznad ( ${\ddot {x}},{\ddot {y}}$ ) za fluks fluksa. Tako, ako je $x=f(t)$ , gde je t vreme potrebno telu da bi se prešlo put h, tada je fluks iksa trenutna brzina, a fluks fluksa je trenutno ubrzanje. Lajbnic (Leibniz) je takođe otkrio istu metodu 1676. g., objavio je 1684. Njutn je nije objavio sve do 1687. (u Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, Matematički principi filozofije prirode). Zato se razvila gorka rasprava oko prioriteta otkrića. Zapravo, danas je poznato, obojica su došli do istog otkrića nezavisno jedan od drugog. Savremena notacija duguje Lajbicu dy/dx i izduženo S (od suma) za integral.

Integralni račun

Integralni račun i integracija koriste se za izračunavanje površina, zapremina tela, dužina krive, težišta, momenta inercije. Vuče korene još od Eudoksa Knidskog (Eudoxus of Cnidus, 408-347.pne.) grčkog astronoma i matematičara i njegove metode „iscrpljivanja“ iz perioda oko 360.g.pne. Arhimed je (delo: Metoda) razvio način nalaženja površina ograničenih krivama, razmatrajući ih podeljene mnogobrojnim paralelnim linijama i proširio ideju na nalaženje zapremina nekih tela. Zbog toga ga neki nazivaju ocem integralnog računa.

Početkom 17. veka, ponovo se pojavio interes za merenje zapremina integralnom metodom. Kepler je koristio procedure nalaženja zapremina tela uzimajući ih kao kompoziciju beskonačnog skupa infinitezimalno (beskonačno) malih elemenata (Stereometrija doliorum, Merenje zapremina buradi, 1615.). Ove ideje je poopštio Kavaljeri (Cavalieri) u svom delu Geometria indivisibilibus continuorum nova (1635), u kojem je upotrebio ideju da se površina sastoji iz nedeljivih linija, a zapremina od nedeljivih površina. To je danas poznati Kavaljerov princip, a takođe to je bio i koncept Arhimedove Metode. Džon Valis u svom delu Beskonačna aritmetika (John Wallis, Arithmetica ifinitorum, 1655) je aritmetizovao Kavalijerove ideje. U tom razdoblju su infinitezimalne metode intenzivno korištene za traženje dužina krivih i površina.

Savremena matematika

Negde u današnje vreme, integracija se počela tumačiti jednostavno kao operacija inverzna diferenciranju. Koši (Cauchy) je 1820-ih diferencijalni i integralni račun postavio na sigurnije osnove zasnivajući ih na limesu. Diferenciranje je definisao kao graničnu vrednost količnika, a integriranje kao graničnu vrednost zbira. Definiciju integrala pomoću granične vrednosti uopštio je Riman (Riemann).

U dvadesetom veku, shvatanje integrala je prošireno. U početku, integriranje se odnosilo na elementarnu ideju merenja (merenje dužina, površina, zapremina) sa neprekidnim funkcijama. Sa pojavom teorije skupova, funkcije su se počele tretirati kao preslikavanje, ne obavezno neprekidno, i pojavilo se opštije i apstraktnije shvatanje mere. Lebeg (Lebesgue) je objavio definiciju integriranja zasnovanu na Lebegovoj meri skupa. Pojavio se Lebegov integral.

Teorije matematičke analize se obično proučavaju u kontekstu realnih brojeva, kompleksnih brojeva, i realnih i kompleksnih funkcija. Međutim, one se mogu definisati i proučavatii u bilo kom drugom prostoru matematičkih objekata, koji ima definisanu blizinu (topološki prostor) ili specifičnije razdaljinu (metrički prostor).

Oblasti

Matematičku analizu čine sledeće oblasti:

Literatura

Matematička analiza, (Prof. Dr Svetozar Kurepa), prvi dio - diferenciranje i integriranje, Tehnička knjiga, Zagreb, 1975.
Viša matematika I (akademik Radivoje Kašanin), četvrto izdanje, Zavod za izdavanje udžbenika SRBiH, Sarajevo, 1969.