Lebesgueova veta

Lebesgueho veta prípadne Lebesgueova veta o zámene limity a integrálu je matematická veta z teórie lebesueovho integrálu umožňujúca zámenu limitného procesu a integrálu pri integrácii konvergujúcej postupnosti funckii. Vďaka relatívne malým restrikciám na postupnosť funkcii predstavuje silný nástroj na počítanie.

Znenie vety

Nech funkcie $\ f_{n}(x)$ sú merateľné v$\ M$ a$\ f_{n}(x)\rightarrow f(x)$ pre skoro všetky $x\in \mathbf {M}$ a nech existuje funkcia

$\ g(x)\in L(M)$ (tzn.:lebesueovsky integrovatľná na M) taká, že:$\ |f_{n}(x)|\leq g(x)$ pre $\forall n\in \mathbb {N}$ a pre skoro všetky $x\in \mathbf {M}$.

Potom $\ f(x)\in L(M)$ a platí :$\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{M}f_{n}(x)=\int _{M}\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)=\int _{M}f(x)$ .

Poznámka

• Funkcii $\ g(x)$ sa hovorí integrovateľná majoranta a jej existencia je často pri výpočte jediný predpoklad, ktorý je tažké overiť.
• Existuje aj verzia tejto vety pre rady funkcií.

Referencie

• http://mathworld.wolfram.com/LebesguesDominatedConvergenceTheorem.html