Euler-Mascheronijeva konstanta

Seznam števil Iracionalna števila γ ζ(3) ρ √2 Φ √3 √5 δS e π δ
dvojiško	0,1001001111000100011...
desetiško	0,5772156649015328606...
dvanajstiško	0,6B15188A6760B389884...
šestnajstiško	0,93C467E37DB0C7A4D1B...
verižni ulomek	$[0;1,1,2,1,2,1,4,3,13,5,1,1,8,1,2,4,1,1,\cdots ]$ Verižni ulomek $\gamma \!\,$ ima vsaj 470.000 členov..

Euler-Mascheronijeva konstánta [ôjler-mašerónijeva ~] je matematična konstanta, ki se največ uporablja v analizi in teoriji števil. Po navadi je označena z majhno grško črko γ (gama). Določena je kot limita razlike med harmonično vrsto in naravnim logaritmom:

$\gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }\left[\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\right)-\ln n\right]=\int _{1}^{\infty }\left({\frac {1}{\lfloor x\rfloor }}-{\frac {1}{x}}\right)\,\mathrm {d} x\!\,.$

Konstanta je podana tudi s posplošenim integralom:

$\gamma =-\int _{0}^{\infty }{\frac {\ln x}{e^{x}}}\,\mathrm {d} x\!\,.$

Njena desetiška vrednost je (OEIS A001620):

γ = 0,5772156649015328606065120900824024310421593359399235988057672348848677267776646709369470632917467495...

Od 3. januarja 2008 je znanih 131,151,000 števk.

Zgodovina

Konstanto je prvi uvedel Leonhard Euler (1707–1783) leta 1734 z zgornjo limito in izračunal prvih pet števk z vrednostjo γ = 0,577218. Konstanto je označil s C in O ter izračunal še prvih 16 števk leta 1781. Konstanta se je pojavila leta 1735 v njegovem članku De Progressionibus harmonicis observationes (Eneström Index 43). Zaradi tega se včasih imenuje tudi Eulerjeva konstanta.

Geometer Lorenzo Mascheroni (1750–1800), ki je izračunal 32 števk, 19 pa je bilo pravilnih, je leta 1790 za konstanto uporabljal črko A. Znak γ se drugače ne pojavlja nikjer v Eulerjevem ali Mascheronijevem delu, in so ga izbrali kasneje zaradi povezave konstante s funkcijo Γ.

Uporaba

Euler-Mascheronijeva konstanta se med drugim pojavlja v:

• izrazih za eksponentni integral:

$\operatorname {Ei} \,(x)=\gamma +\ln x+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k\;k!}}\,,\qquad (x>0)\!\,$

$E_{1}(z)=-\gamma -\ln z+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}z^{k}}{k\;k!}}\,,\qquad (\Re (z)>0)\!\,$

• Laplaceovi transformaciji za naravni logaritem:

$-{\frac {t_{0}}{s}}{\Big [}\ln(t_{0}s)+\gamma {\Big ]}\,,\qquad (\Re (s)>0)\!\,$

• prvem členu razvoja Riemannove funkcije ζ s Taylorjevo vrsto, kjer je prva od Stieltjesovih konstant $\gamma _{0}$:

$\gamma =1-\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n}}{\Big [}\zeta (n)-1{\Big ]}\!\,$

• enačbi za produkt funkcije Γ:

$\gamma =-\Gamma '(1)\!\,$

• računih funkcije digama ψ₀(x):

$\gamma =\psi _{0}(1)\!\,$

• neenakosti za Eulerjevo funkcijo φ:

$\varphi (n)>{\frac {n}{e^{\gamma }\;\log \log n+{\frac {3}{\log \log n}}}},\qquad (n>2)\!\,$

• stopnji rasti števila deliteljev:

$\sum _{n\leq x}d(n)=x\log x+(2\gamma -1)x+O({\sqrt {x}})\,,\qquad (x\geq 1)\!\,$

• računu Meissel-Mertensove konstante
• tretjem Mertensovem izreku:

$\lim _{n\to \infty }\ln n\prod _{p\in \mathbb {P} \atop p<n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)={\frac {1}{e^{\gamma }}}\!\,$

• v asimptotičnem približku rešitve Besslove funkcije druge vrste

$Y_{\nu }(x)\rightarrow {\begin{cases}{\frac {2}{\pi }}{\Big [}\ln(x/2)+\gamma {\Big ]}\,;&\nu =0\\\\-{\frac {\Gamma (\alpha )}{\pi }}\left({\frac {2}{x}}\right)^{\nu }\,;&\nu >0\end{cases}}\!\,$

Značilnosti

Ni znano ali je konstanta γ algebrsko ali transcendentno število. Ni znano niti ali je iracionalno število ali ne. Raziskave verižnih ulomkov kažejo, da če je γ racionalno število a/b, ima njen imenovalec b vsaj 242.080 števk. Hardy je menda ponudil svoj odstop od stolice na Univerzi v Oxfordu vsakomur, ki bi dokazal ali je γ iracionalna, čeprav ni o tem nobenega pisnega vira. Conway in Guy sta pripravljena staviti, da je transcendentno število, čeprav v svojih življenjih ne pričakujeta dokaza. Ker je γ prisotna na mnogih področjih, predstavlja njena iracionalnost enega od glavnih nerešenih problemov v matematiki.

Viri

• Grasselli, Jože (2008), Enciklopedija števil, Matematika – fizika : zbirka univerzitetnih učbenikov in monografij, zv. 45, Ljubljana: DMFA – založništvo, COBISS 243138304, ISBN 978-961-212-209-6, ISSN 1408-1571
• Havil, Julian (2003), Gamma: Exploring Euler's Constant, Princeton University Press, ISBN 0-691-09983-9
• Krämer, Stefan (2005), »Die Eulersche Konstante γ und verwandte Zahlen«, Diplomska naloga, Univerza v Göttingenu
• Sondow, Jonathan (2003), An infinite product for e^γ via hypergeometric formulas for Euler's constant, γ., arXiv:math.CA/0306008

Zunanje povezave

• Weisstein, Eric Wolfgang. »Euler-Mascheroni Constant«. MathWorld.
• Xavier Gourdon, Pascal Sebah, Eulerjeva konstanta: γ (The Euler Constant: γ) (angleško)