Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Lehmerjeva matrika je konstantna simetrična matrika za katero velja
A
i
j
=
{
i
/
j
,
j
≥
i
j
/
i
,
j
<
i
.
{\displaystyle A_{ij}={\begin{cases}i/j,&j\geq i\\j/i,&j<i.\end{cases}}}
To lahko zapišemo tudi kot
A
i
j
=
min
(
i
,
j
)
max
(
i
,
j
)
.
{\displaystyle A_{ij}={\frac {{\mbox{min}}(i,j)}{{\mbox{max}}(i,j)}}.}
Imenuje se po ameriškem matematiku Derricku Henryju Lehmerju (1905 – 1991).
Podani so primeri nekaterih Lehmerjevih matrik in njihove obratne matrike:
A
2
=
(
1
1
/
2
1
/
2
1
)
;
A
2
−
1
=
(
4
/
3
−
2
/
3
−
2
/
3
4
/
3
)
;
A
3
=
(
1
1
/
2
1
/
3
1
/
2
1
2
/
3
1
/
3
2
/
3
1
)
;
A
3
−
1
=
(
4
/
3
−
2
/
3
−
2
/
3
32
/
15
−
6
/
5
−
6
/
5
9
/
5
)
;
A
4
=
(
1
1
/
2
1
/
3
1
/
4
1
/
2
1
2
/
3
1
/
2
1
/
3
2
/
3
1
3
/
4
1
/
4
1
/
2
3
/
4
1
)
;
A
4
−
1
=
(
4
/
3
−
2
/
3
−
2
/
3
32
/
15
−
6
/
5
−
6
/
5
108
/
35
−
12
/
7
−
12
/
7
16
/
7
)
.
{\displaystyle {\begin{array}{lllll}A_{2}={\begin{pmatrix}1&1/2\\1/2&1\end{pmatrix}};&A_{2}^{-1}={\begin{pmatrix}4/3&-2/3\\-2/3&4/3\end{pmatrix}};\\\\A_{3}={\begin{pmatrix}1&1/2&1/3\\1/2&1&2/3\\1/3&2/3&1\end{pmatrix}};&A_{3}^{-1}={\begin{pmatrix}4/3&-2/3&\\-2/3&32/15&-6/5\\&-6/5&9/5\end{pmatrix}};\\\\A_{4}={\begin{pmatrix}1&1/2&1/3&1/4\\1/2&1&2/3&1/2\\1/3&2/3&1&3/4\\1/4&1/2&3/4&1\end{pmatrix}};&A_{4}^{-1}={\begin{pmatrix}4/3&-2/3&&\\-2/3&32/15&-6/5&\\&-6/5&108/35&-12/7\\&&-12/7&16/7\end{pmatrix}}.\\\end{array}}}
kadar je
A
{\displaystyle A\,}
n
×
n
{\displaystyle n\times n\,}
B
{\displaystyle B\,}
m
×
m
{\displaystyle m\times m\,}
A
{\displaystyle A\,}
podmatrika matrike
B
{\displaystyle B\,}
m
>
n
{\displaystyle m>n\,}
obratna matrika Lehmerjeve matrika je tridiagonalna matrika , ki ima vrednosti na diagonali nad glavno diagonalo (naddiagonali) in diagonali pod glavno diagonalo (podddiagonali) vedno negativne.