homologi

Det har utviklet seg mange ulike typer homologi. Disse kan brukes til å beregne forskjellige typer hull i ulike situasjoner. Ett eksempel er persistent homologi, som brukes i topologisk dataanalyse for å beregne «formen» en datamengde har. Dette ble for eksempel brukt i May-Britt og Edvard Mosers revolusjonerende oppdagelse av at gitterceller i hjernen er strukturert som en torus.

Noe av det mest interessante ved homologi er at den kan måle hull i alle mulige dimensjoner. For eksempel kan vi tenke oss at et kuleskall har ingen endimensjonale hull, men den har et todimensjonalt hull på innsiden av seg selv.

Dimensjonen til hullene her kan virke lite intuitive ettersom rommet på innsiden av en kule er tredimensjonalt og ikke todimensjonalt. Men matematisk sett er det riktigere å si at hullet er todimensjonalt ettersom kuleskallet selv er en todimensjonal overflate. For eksempel er overflaten til Jorden todimensjonal fordi vi kun kan bevege oss i to ulike retninger: opp eller ned, høyre eller venstre.

En torus, eller smultring, er mer komplisert. Den har to forskjellige endimensjonale hull, og ett todimensjonalt hull på innsiden av seg selv. For å forstå de to endimensjonale hullene kan man forestille seg følgende: Man starter med et vanlig ark uten hull. Ruller man arket sammen og limer to av sidene får man en sylinder, som har nøyaktig ett endimensjonalt hull. Limer man sammen de to endene til sylinderen får man en torus, og vi får da enda et endimensjonalt hull i midten.

Beskrivelsene av homologi gjøres presise ved å beregne homologitallene til kulen \(S\) og torusen \(T\). Homologitallene kalles ofte Betti-tall, fordi de først ble definert og brukt av den italienske matematikeren Enrico Betti. Han definerte disse annerledes enn slik vi gjør i dag, og tok inspirasjon fra noen tall den tyske matematikeren Bernhard Rieman tidligere hadde brukt for å studere hvor sammenhengende et rom er.

Betti-tallene ble videre formalisert av den franske matematikeren Henri Poincaré i hans kjente artikkel Analysis situs. Han introduserte en helt ny struktur som gjorde at man enklere kunne beregne Betti-tallene. Senere viste den tyske matematikeren Emmy Noether at denne strukturen definert av Poincaré faktisk dannet en abelsk gruppe, en matematisk struktur som lar oss legge sammen og trekke fra elementer i denne strukturen.

Når topologer beregner homologi er det som regel disse homologigruppene de beregner. Det finnes mange måter å beregne disse på, alle med sine fordeler og ulemper, avhengig av konteksten.

Formelt kan man da definere det \(n\)-te Betti-tallet \(B_n(X)\) til et topologisk rom \(X\), til å være tallet gitt ved følgende formel:

\[B_n (X)=\operatorname{dim}H_n(X; \mathbb{Q})\]

Symbolet \(H_n\) betyr \(n\)-te homologi, altså den matematisk presise konstruksjonen som forteller oss intuitivt hvor mange \(n\)-dimensjonale hull det topologiske rommet \(X\) har. Tilleggssymbolet \(\mathbb{Q}\) betyr at vi måler hullet med rasjonale tall. Det viser seg da at objektet \(H_n(X;\mathbb{Q})\) er et rasjonalt vektorrom kalt den \(n\)-te homologigruppen til \(X\).

Et vektorrom har en dimensjon som er definert ved hvor mange uavhengige variabler man må bruke for å spesifisere et punkt i vektorrommet. For eksempel er dimensjonen til det vanlige euklidske tredimensjonale rommet \(\mathbb{R}^3\) lik tre, da vi må spesifisere tre koordinater: høyde, lengde og bredde. Planet \(\mathbb{R}^2\) har dimensjon lik to, da vi kun trenger å spesifisere to koordinater. Med symbolet \(\operatorname{dim}V\) mener vi da dimensjonen til vektorrommet \(V\). Dermed er for eksempel \(\operatorname{dim}\mathbb{R}^3 = 3\).

Den fullstendige formelen for det \(n\)-te Betti-tallet betyr da at \(B_n(X)\) er dimensjonen til vektorrommet \(H_n(X;\mathbb{Q})\).

• topologi
• matematikk